Questão 3. Determine
para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Vamos rever as regras que usaremos (cada fórmula com explicação curta e sem pular passos):
- Regra da cadeia (para função composta): se
, então
Isto significa: derivar a função externa
avaliada na interna
e multiplicar pela derivada da interna
.
- Regra da potência aplicada a uma função: se
com constante, então
Isto é um caso da regra da cadeia, onde a função externa é
.
- Derivadas de seno e cosseno: para uma função interna
,
Aqui também aplicamos a regra da cadeia: derivada da função trigonométrica vezes a derivada da interna.
Com essas regras, vamos derivar cada parcela de
separadamente.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Trate a expressão como
com
Pela regra da potência:
Agora calculamos
. Aplicando a derivada do seno e a regra da cadeia para
:
Substituindo em
:
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Seja
. Pela regra da derivada do cosseno com cadeia:
Calculamos
:
Portanto
Passo 5
Agora somamos as derivadas das duas parcelas (derivada de soma é soma das derivadas). Assim,
Essa é a expressão final; dá para verificar rapidamente cada termo rechecando as etapas anteriores.