Questão 3. Determine h^{\prime}(x) para
h(x)=\operatorname{sen}^{3}(2 x)+\cos \left(5 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\operatorname{sen}^{3}(2 x)+\cos\left(5 x^{2}\right)
e pede para determinar h^{\prime}(x), a derivada de h em relação a x.

Passo 2

Vamos rever as regras que usaremos (cada fórmula com explicação curta e sem pular passos):
  • Regra da cadeia (para função composta): se F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa f avaliada na interna g(x) e multiplicar pela derivada da interna g'(x).
  • Regra da potência aplicada a uma função: se F(x)=\big(u(x)\big)^{n} com n constante, então
F'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x).
Isto é um caso da regra da cadeia, onde a função externa é t^n.
  • Derivadas de seno e cosseno: para uma função interna u(x),
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\big(u(x)\big)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x), \qquad \frac{d}{dx}\cos\big(u(x)\big)=-\operatorname{sen}\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui também aplicamos a regra da cadeia: derivada da função trigonométrica vezes a derivada da interna.
Com essas regras, vamos derivar cada parcela de h(x) separadamente.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \operatorname{sen}^{3}(2x).
Trate a expressão como \big(u(x)\big)^{3} com
u(x)=\operatorname{sen}(2x).
Pela regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)^{3}=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).
Agora calculamos u'(x). Aplicando a derivada do seno e a regra da cadeia para u(x)=\operatorname{sen}(2x):
u'(x)=\cos(2x)\cdot \frac{d}{dx}(2x)=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).
Substituindo em 3u^{2}u':
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}^{3}(2x)=3\big(\operatorname{sen}(2x)\big)^{2}\cdot\big(2\cos(2x)\big)=6\operatorname{sen}^{2}(2x)\cos(2x).

Passo 4

Derivada do segundo termo \cos\big(5x^{2}\big).
Seja v(x)=5x^{2}. Pela regra da derivada do cosseno com cadeia:
\frac{d}{dx}\cos\big(v(x)\big)=-\operatorname{sen}\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
Calculamos v'(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot 2x=10x.
Portanto
\frac{d}{dx}\cos\big(5x^{2}\big)=-\operatorname{sen}\big(5x^{2}\big)\cdot 10x=-10x\,\operatorname{sen}(5x^{2}).

Passo 5

Agora somamos as derivadas das duas parcelas (derivada de soma é soma das derivadas). Assim,
h^{\prime}(x)=6\operatorname{sen}^{2}(2x)\cos(2x)-10x\,\operatorname{sen}(5x^{2}).
Essa é a expressão final; dá para verificar rapidamente cada termo rechecando as etapas anteriores.

Resposta

h^{\prime}(x)=6\operatorname{sen}^{2}(2x)\cos(2x)-10x\,\operatorname{sen}(5x^{2})

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