Determinar todas as soluções das seguintes equaçõeses diferenciais, no intervalo (-infty,+infty).
  1. y^prime prime-4 y=0;
  2. y^prime prime+4 y=0;
  3. y^prime prime-4 y^prime=0;
  4. y^prime prime+4 y^prime=0;
  5. y^prime prime-2 y^prime+3 y=0;
  6. y^prime prime+2 y^prime-3 y=0;
  7. y^prime prime-2 y^prime+2 y=0;
  8. y^prime prime-2 y^prime+5 y=0;
  9. y^prime prime+2 y^prime+y=0;
  10. y^prime prime-2 y^prime+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções gerais, no intervalo (-∞,+∞), de dez equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O conteúdo envolvido é o método da equação característica.

Passo 2

Para qualquer EDO homogênea do tipo y'' + a,y' + b,y = 0, montamos a equação característica r^2 + a r + b = 0. As raízes r1, r2 determinam a forma da solução geral.
Se a característica tem duas raízes reais e distintas r1neq r2, a solução é y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x. Aplicamos isso às equações (1), (3), (4) e (6).
Se a característica tem raiz real dupla r1=r2=r, a solução é y(x)=(C1 + C2x)e^r x. Aplicamos às equações (9) e (10).
Se a característica tem raízes complexas conjugadas r=alphapm ibeta, a solução é y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r). Aplicamos às equações (2), (5), (7) e (8).

Resposta

As soluções gerais são:
  1. Para y''-4y=0, r^2-4=0 r=pm2:
y=C1e^2x+C2e^-2x
  1. Para y''+4y=0, r^2+4=0 r=pm2i:
y=C1cos(2x)+C2sin(2x)
  1. Para y''-4y'=0, r(r-4)=0 r=0,4:
y=C1+C2e^4x
  1. Para y''+4y'=0, r(r+4)=0 r=0,-4:
y=C1+C2e^-4x
  1. Para y''-2y'+3y=0, r^2-2r+3=0 r=1pm iraiz2:
y=e^xl(C1cos(raiz2x)+C2sin(raiz2x)r)
  1. Para y''+2y'-3y=0, r^2+2r-3=0 r=1,-3:
y=C1e^x+C2e^-3x
  1. Para y''-2y'+2y=0, r^2-2r+2=0 r=1pm i:
y=e^xl(C1cos x+C2sin xr)
  1. Para y''-2y'+5y=0, r^2-2r+5=0 r=1pm2i:
y=e^xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r)
  1. Para y''+2y'+y=0, r^2+2r+1=0 dá raiz dupla r=-1:
y=(C1 + C2x)e^-x
  1. Para y''-2y'+y=0, r^2-2r+1=0 dá raiz dupla r=1:
y=(C1 + C2x)e^x

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