Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
integral0^pi / 2 f(x) d x x=arctan t

Passo 1

O enunciado pede para transformar a integral integral0^pi/2f(x),dx usando a mudança de variável x=arctan t. Esse é um exercício de técnica de integração por substituição. Vamos precisar lembrar da definição de derivada de arctan t e como ajustar os limites de integração.

Passo 2

Da substituição x=arctan t segue que t=tan x. Diferenciando em relação a x temos:
dt = sec^2 x,dx = (1+tan^2 x),dx
Como tan x = t, fica
dx = dt1+t^2

Passo 3

Agora ajustamos os limites. Quando x=0, t=tan0=0. Quando x=pi/2, t=tan(pi/2)=+infty. Logo a integral original de x=0 a x=pi/2 vira uma integral em t de 0 a +infty.

Passo 4

Por fim substituímos x por arctan t dentro de f(x), e dx por dt/(1+t^2). Assim:
integral0^pi/2f(x),dx = integral0^inftyf(arctan t)cdot11+t^2,dt

Resposta

integral0^pi/2f(x),dx = integral0^inftyf(arctan t)1+t^2,dt

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