Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
integral0^3 raizx+1 d x x=2 t-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar uma substituição para transformar a integral integral0^3 raizx + 1 , dx, onde a substituição é x = 2t - 1. Vamos precisar saber sobre substituição em integrais e como mudar os limites de integração quando fazemos essa troca de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição que foi dada: x = 2t - 1. Isso significa que queremos reescrever a integral em termos de t em vez de x.

Passo 3

Precisamos encontrar dx em termos de dt. Para isso, derivamos x = 2t - 1 em relação a t:
dx = dxdt , dt = 2 , dt
Então, dx = 2 , dt.

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração. Quando x = 0:
0 = 2t - 1 implies t = 12
E quando x = 3:
3 = 2t - 1 implies t = 2
Então, os novos limites de integração em termos de t são de 12 a 2.

Passo 5

Vamos substituir tudo na integral original:
integral0^3 raizx + 1 , dx = integral12^2 raiz(2t - 1) + 1 cdot 2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
(2t - 1) + 1 = 2t
Então, a integral fica:
integral12^2 raiz2t cdot 2 , dt

Passo 6

Vamos simplificar raiz2t:
raiz2t = raiz2 cdot raizt
Portanto, a integral fica:
2 cdot raiz2 integral12^2 raizt , dt

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral integral raizt , dt. Sabemos que:
integral t^12 , dt = 23 t^32 + C
Aplicando os limites de 12 a 2:
[ 23 t^32 ]12^2 = 23 (2^32 - (12)^32)
Calculando:
2^32 = 2 raiz2, (12)^32 = 12 raiz2
Então:
23 (2 raiz2 - 12 raiz2) = 23 (4 raiz22 - 12 raiz2) = 23 (4 raiz2 cdot raiz2 - 12 raiz2) = 23 (8 - 12 raiz2) = 23 cdot 72 raiz2 = 73 raiz2

Resposta

Após substituir e simplificar, a integral transformada é:
2 raiz2 cdot 73 raiz2 = 143
Portanto, o valor final da integral é 143.

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