Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar uma substituição para transformar a integral
, onde a substituição é
. Vamos precisar saber sobre substituição em integrais e como mudar os limites de integração quando fazemos essa troca de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição que foi dada:
. Isso significa que queremos reescrever a integral em termos de
em vez de
.
Passo 3
Precisamos encontrar
em termos de
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos mudar os limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites de integração em termos de
são de
a
.
Passo 5
Vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar
:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Aplicando os limites de
a
:
Calculando:
Então:
Resposta
Após substituir e simplificar, a integral transformada é:
Portanto, o valor final da integral é
.