Calcule a integral
\iint_{D}(1+3 x+y) d A
onde D é a lâmina triangular com vértices
(0,0),(1,0)
e(0,2).

Passo 1

A questão pede a integral dupla de f(x,y)=1+3x+y sobre a lâmina triangular D de vértices (0,0), (1,0) e (0,2). O conteúdo usado é de integrais duplas em coordenadas cartesianas, em que expressamos D como um iterado simples sobre x e y.

Passo 2

Para descrever D, note que a reta que liga (1,0) a (0,2) tem equação
y-0 = \frac{2-0}{0-1}(x-1) \;\;\Longrightarrow\;\; y = -2x + 2.
Assim, D é
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le -2x+2.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla como iterada em y depois em x:
\iint_{D}(1+3x+y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\;\int_{y=0}^{-2x+2}(1+3x+y)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule o integral interno em y:
\int_{0}^{-2x+2}(1+3x+y)\,dy = \int_{0}^{-2x+2}(1+3x)\,dy + \int_{0}^{-2x+2}y\,dy = (1+3x)(-2x+2) + \frac{(-2x+2)^{2}}{2}.
Simplificando, note que -2x+2=2-2x, então
(1+3x)(2-2x) + \frac{(2-2x)^{2}}{2} = \bigl(2+6x-2x-6x^{2}\bigr) + \frac{4-8x+4x^{2}}{2} = (2+4x-6x^{2}) + (2-4x+2x^{2}) = 4-4x^{2}.

Passo 5

Agora integre em x:
\int_{0}^{1}(4-4x^{2})\,dx = 4\int_{0}^{1}dx - 4\int_{0}^{1}x^{2}dx = 4\bigl[x\bigr]_{0}^{1} - 4\bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{0}^{1} = 4 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{8}{3}.

Resposta

\iint_{D}(1+3x+y)\,dA = \tfrac{8}{3}.

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