Use a substituição reversa para resolver cada um dos seguintes sistemas de equações:
x_{1}-3 x_{2}=2

Passo 1

O enunciado dá uma única equação linear com duas incógnitas e pede para resolvê-la usando substituição reversa (back substitution):
x_{1}-3x_{2}=2.
Informações relevantes e o que é pedido:
  • Há duas incógnitas: x_{1} e x_{2}.
  • Há apenas uma equação linear relacionando x_{1} e x_{2}.
  • O enunciado pede usar substituição reversa para encontrar as soluções do sistema (ou seja, expressar as incógnitas de forma que possamos listar a família de soluções).

Passo 2

Entendendo o contexto: uma única equação linear com duas incógnitas normalmente tem infinitas soluções. Isso porque uma equação impõe apenas uma restrição numa reta do plano (x_{1},x_{2}). Para resolver, escolhemos uma incógnita como parâmetro livre (variável livre) e expressamos a outra em função desse parâmetro. Essa escolha é exatamente o que a substituição reversa faz em sistemas triangulares: fixar as variáveis livres e “voltar” determinando as restantes.

Passo 3

Definição prática da técnica que vamos usar (passo a passo didático):
  • Identificar quantas variáveis são livres (variáveis que podemos escolher arbitrariamente).
  • Escolher um parâmetro para representar a(s) variável(is) livre(s). Costuma-se usar t ou outra letra simples.
  • Substituir esse parâmetro na equação e resolver para a(s) variável(is) dependente(s).
  • Escrever a solução em forma paramétrica.
Aqui temos 2 incógnitas e 1 equação, logo teremos 1 variável livre.

Passo 4

Escolher a variável livre. É comum escolher a variável que aparece com coeficiente menor ou por simplicidade; escolho
x_{2}=t,
onde t é um parâmetro real, isto é, t\in\mathbb{R}. Isso significa: vou descrever todas as soluções tomando x_{2} arbitrário e calculando x_{1} a partir da equação.

Passo 5

Substituir x_{2}=t na equação dada e resolver para x_{1}.
A equação é
x_{1}-3x_{2}=2.
Substituindo x_{2}=t obtemos
x_{1}-3t=2.
Agora isolamos x_{1}: somamos 3t em ambos os lados,
x_{1}=2+3t.

Passo 6

Escrever a solução geral (forma paramétrica). A família de soluções do sistema é
(x_{1},x_{2})=(2+3t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto descreve uma reta no plano: para cada escolha de t obtemos um par (x_{1},x_{2}) que satisfaz a equação original.

Passo 7

Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança):
  • Se t=0, então x_{2}=0 e x_{1}=2+3\cdot0=2. Substituindo: 2-3\cdot0=2 OK.
  • Se t=1, então x_{2}=1 e x_{1}=2+3\cdot1=5. Substituindo: 5-3\cdot1=2 OK.
  • Se t=-2, então x_{2}=-2 e x_{1}=2+3(-2)=-4. Substituindo: -4-3(-2)=-4+6=2 OK.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (ânimo!): quando o número de equações for menor que o número de incógnitas espere parâmetros livres; escolha parâmetros simples ( t, s) e escreva a solução paramétrica. A substituição reversa é exatamente isso quando o sistema está triangular — aqui aplicou-se o mesmo raciocínio de “fixar livre, resolver dependente”.

Resposta

(x_{1},x_{2})=(2+3t,\;t),\\ t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados