Use a substituição reversa para resolver cada um dos seguintes sistemas de equações:
Passo 1
O enunciado dá uma única equação linear com duas incógnitas e pede para resolvê-la usando substituição reversa (back substitution):
Informações relevantes e o que é pedido:
- Há duas incógnitas:
e . - Há apenas uma equação linear relacionando
e . - O enunciado pede usar substituição reversa para encontrar as soluções do sistema (ou seja, expressar as incógnitas de forma que possamos listar a família de soluções).
Passo 2
Entendendo o contexto: uma única equação linear com duas incógnitas normalmente tem infinitas soluções. Isso porque uma equação impõe apenas uma restrição numa reta do plano
. Para resolver, escolhemos uma incógnita como parâmetro livre (variável livre) e expressamos a outra em função desse parâmetro. Essa escolha é exatamente o que a substituição reversa faz em sistemas triangulares: fixar as variáveis livres e “voltar” determinando as restantes.
Passo 3
Definição prática da técnica que vamos usar (passo a passo didático):
- Identificar quantas variáveis são livres (variáveis que podemos escolher arbitrariamente).
- Escolher um parâmetro para representar a(s) variável(is) livre(s). Costuma-se usar
ou outra letra simples. - Substituir esse parâmetro na equação e resolver para a(s) variável(is) dependente(s).
- Escrever a solução em forma paramétrica.
Aqui temos 2 incógnitas e 1 equação, logo teremos 1 variável livre.
Passo 4
Escolher a variável livre. É comum escolher a variável que aparece com coeficiente menor ou por simplicidade; escolho
onde
é um parâmetro real, isto é,
. Isso significa: vou descrever todas as soluções tomando
arbitrário e calculando
a partir da equação.
Passo 5
Substituir
na equação dada e resolver para
.
A equação é
A equação é
Substituindo
obtemos
Agora isolamos
: somamos
em ambos os lados,
Passo 6
Escrever a solução geral (forma paramétrica). A família de soluções do sistema é
Isto descreve uma reta no plano: para cada escolha de
obtemos um par
que satisfaz a equação original.
Passo 7
Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança):
- Se
, então e . Substituindo: OK. - Se
, então e . Substituindo: OK. - Se
, então e . Substituindo: OK.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (ânimo!): quando o número de equações for menor que o número de incógnitas espere parâmetros livres; escolha parâmetros simples (
,
) e escreva a solução paramétrica. A substituição reversa é exatamente isso quando o sistema está triangular — aqui aplicou-se o mesmo raciocínio de “fixar livre, resolver dependente”.