Escreva o sistema de equações que corresponde a cada uma das seguintes matrizes aumentadas:
\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 2\end{array}\right.\\ \left.\begin{array}{rr|r}-2 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: escrever o sistema de equações que corresponde à matriz aumentada fornecida. A matriz dada, exatamente como está no enunciado, é
\left[\begin{array}{l}5 \\[4pt] 2\end{array}\right.\\ \left.\begin{array}{rr|r}-2 & 1 & 3 \\[4pt] 3 & -4 & 0\end{array}\right).
Vou listar claramente as entradas linha a linha (cada linha da matriz aumentada corresponde a uma equação do sistema):
  • Primeira linha: as entradas antes da barra vertical são 5,\\\ -2,\\\ 1 e a entrada após a barra (termo independente) é 3.
  • Segunda linha: as entradas antes da barra vertical são 2,\\\ 3,\\\ -4 e a entrada após a barra (termo independente) é 0.
Explicação do que significa uma matriz aumentada (passo didático): numa matriz aumentada o que está antes da barra vertical representam os coeficientes das incógnitas (cada coluna é uma incógnita diferente) e o que está depois da barra é o termo independente (lado direito da igualdade). Ou seja, cada linha da matriz transforma-se numa equação linear somando coeficiente vezes incógnita igual ao termo independente.]

Passo 2

Escolhendo nomes para as incógnitas: vou chamar as três incógnitas de \,x_1,\\ x_2,\\ x_3. Assim:
  • a primeira coluna da matriz corresponde aos coeficientes de \,x_1;
  • a segunda coluna corresponde aos coeficientes de \,x_2;
  • a terceira coluna corresponde aos coeficientes de \,x_3;
  • a coluna após a barra é o termo independente (lado direito).

Passo 3

Construindo a primeira equação a partir da primeira linha da matriz (pegando os números que listamos no Passo 1):
  • coeficientes: 5 (para x_1), -2 (para x_2), 1 (para x_3);
  • termo independente: 3.
    Multiplicando coeficiente por incógnita e somando, obtemos a equação
5x_1 - 2x_2 + x_3 = 3.

Passo 4

Construindo a segunda equação a partir da segunda linha da matriz (pegando os números do Passo 1):
  • coeficientes: 2 (para x_1), 3 (para x_2), -4 (para x_3);
  • termo independente: 0.
    Isso dá a equação
2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 0.

Passo 5

Resumo e alternativa de notação (didático): escrevemos o sistema colocando uma equação por linha, e cada coeficiente multiplica a incógnita correspondente. Se preferir nomes mais comuns, pode trocar \,x_1,x_2,x_3 por \,x,y,z sem alterar nada: por exemplo a primeira equação vira 5x-2y+z=3.

Resposta

5x_1 - 2x_2 + x_3 = 3
2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 0

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