Use a substituição t=tan (x2) para resolver as integrais indefinidas:
integral d x2+cos (x).

Passo 1

O enunciado quer calcular
integral dx2+cos(x)
usando a substituição de Weierstrass
t = tan!l(x2r)
Precisamos expressar cos(x) e dx em função de t.

Passo 2

Com
t = tan!l(x2r)
vem
dx = 2,dt1+t^2, cos(x) = 1-t^21+t^2

Passo 3

Substituindo em
integral dx2+cos(x)
obtemos
integral tfrac2,dt1+t^22 + tfrac1-t^21+t^2 = integral 2,dt2(1+t^2)+(1-t^2) = integral 2,dt3 + t^2

Passo 4

Para
integral 2,dt3 + t^2
usamos a fórmula
integral dua^2+u^2 = 1aarctan!l(uar) + C,
com u=t e a=raiz3. Assim
integral 2,dt3 + t^2 = 2 integral dtt^2+(raiz3)^2 = 2raiz3arctan!l(traiz3r) + C

Passo 5

Voltando à variável x usando t = tan(tfracx2), concluímos
integral dx2+cos(x) = 2raiz3arctan!l(tan(tfracx2)raiz3r) + C

Resposta

2raiz3arctan!l(tan(tfracx2)raiz3r) + C

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