Use a substituição t=tan (x2) para resolver as integrais indefinidas:
integral d xsin (x)+2 cos (x)+3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxsin(x)+2cos(x)+3
usando a substituição de Weierstrass t=tanl(tfracx2r). Vamos precisar das fórmulas
sin(x)=2t1+t^2, cos(x)=1-t^21+t^2 e dx=2,dt1+t^2.

Passo 2

Substituímos em sin(x)+2cos(x)+3:
sin(x)+2cos(x)+3 =2t1+t^2+2cdot1-t^21+t^2+3 =2t+2(1-t^2)+3(1+t^2)1+t^2
No numerador temos
2t+2-2t^2+3+3t^2 = t^2+2t+5,
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sin(x)+2cos(x)+3 = t^2+2t+51+t^2

Passo 3

O elemento dx vira
dx = 2,dt1+t^2,
portanto a integral original passa a ser
integral dxsin(x)+2cos(x)+3 = integral 2,dt1+t^2t^2+2t+51+t^2 =2integral dtt^2+2t+5

Passo 4

Para integrar 2integral dtt^2+2t+5 completamos o quadrado no denominador:
t^2+2t+5 = (t+1)^2+4
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2integral dt(t+1)^2+4

Passo 5

Usamos a fórmula
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracuar)+C
Aqui u=t+1 e a=2, então
2integral dt(t+1)^2+2^2 =2cdot12arctan!l(tfract+12r)+C =arctan!l(tfract+12r)+C

Passo 6

Voltando à variável x, como t=tanl(tfracx2r), a resposta final é
arctan!l(tan(x2)+12r)+C

Resposta

arctan!l(tan(x2)+12r)+C

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