Use substituições criativas, como z=y^{\prime}, z=y^{n}, y=u v, etc., para reduzir a equação:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d y}{d x} \cdot \tan (y)

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a ordem da equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;=\;\frac{dy}{dx}\,\tan(y)
usando alguma substituição criativa. Aqui o conteúdo é redução de ordem em EDOs: vamos transformar essa EDO de segunda ordem numa EDO de primeira ordem por meio de
z = \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Defina z = \dfrac{dy}{dx}. Então
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\frac{dz}{dx}.
Para aproveitar que z é função de y, use
\frac{dz}{dx} =\frac{dz}{dy}\,\frac{dy}{dx} =\;z\,\frac{dz}{dy}.
Substituindo em \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{dy}{dx}\tan(y)
z\,\frac{dz}{dy} \;=\;z\,\tan(y).

Passo 3

Supondo z\neq0, divida ambos os lados por z:
\frac{dz}{dy} \;=\;\tan(y).
Agora integre em relação a y:
z(y)=\int \tan(y)\,dy =-\ln\bigl\lvert \cos(y)\bigr\rvert + C_{1}.

Passo 4

Volte à variável original, z=\frac{dy}{dx}. Assim
\frac{dy}{dx} =-\ln\bigl\lvert \cos(y)\bigr\rvert + C_{1}.
Isto é uma EDO de primeira ordem, separável em x e y.

Passo 5

Separe variáveis para obter a quadratura final:
dx =\frac{dy}{-\,\ln\lvert \cos(y)\rvert + C_{1}} \quad\Longrightarrow\quad x + C_{2} =\int \frac{dy}{C_{1}-\ln\lvert \cos(y)\rvert}.
Essa integral dá a solução implícita geral da EDO.

Resposta

Usando z=\frac{dy}{dx} reduzimos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dy}{dx}\tan(y)
a
\frac{dz}{dy}=\tan(y) \quad\Longrightarrow\quad z=-\ln\lvert \cos(y)\rvert + C_{1},
ou seja
\frac{dy}{dx}=C_{1}-\ln\lvert \cos(y)\rvert
e finalmente
x + C_{2} =\int \frac{dy}{C_{1}-\ln\lvert \cos(y)\rvert},
que é a forma reduzida em quadratura.

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