Use substituições criativas, como z=y^{\prime}, z=y^{n}, y=u v, etc., para reduzir a equação:
y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=0

Passo 1

O enunciado nos pede para reduzir a equação de segunda ordem
y\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = 0
usando alguma substituição criativa. O conteúdo aqui é “redução de ordem” de uma EDO, ou seja, transformar essa equação de ordem 2 numa de ordem 1 à custa de uma boa mudança de variável (por exemplo, z=y' e depois usar a regra da cadeia).

Passo 2

Definimos
p = \frac{dy}{dx}
de modo que
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}.
Substituindo na EDO original, ficamos com
y\,\frac{dp}{dx} + p^{2} = 0.

Passo 3

Para eliminar a derivada em relação a x e passar a derivar em relação a y, usamos a regra da cadeia
\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx} = p\,\frac{dp}{dy}.
Logo a equação vira
y\;\Bigl(p\,\frac{dp}{dy}\Bigr) + p^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y\,p\,\frac{dp}{dy} + p^{2} = 0.

Passo 4

Como buscamos p\neq0, dividimos toda a equação por p:
y\,\frac{dp}{dy} + p = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dy} = -\frac{p}{y}.
Esta é uma EDO de primeira ordem e variável separável. Separamos e integramos:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{1}{y}\,dy \quad\Longrightarrow\quad \ln|p| = -\ln|y| + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{dy}{dx} = \frac{K}{y},
onde K = e^{C_{1}} é constante.

Passo 5

Agora temos
\frac{dy}{dx} = \frac{K}{y},
que também é separável:
y\,dy = K\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int y\,dy = \int K\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{2} = Kx + C_{2}.
Chamando C_{3}=2C_{2}, obtemos a forma mais simples da solução geral.

Resposta

A solução geral da equação é
y^{2} = 2K\,x + C_{3},
ou equivalentemente
y(x) = \pm\sqrt{2K\,x + C_{3}},
com K e C_{3} constantes de integração.

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