Use uma tabela básica de transformada de Laplace e suas propriedades para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = (2t - 3)e^{\frac{t+2}{3}} $. Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela básica de transformadas de Laplace e algumas propriedades, como a de função exponencial e a de multiplicação por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão exponencial na função $ f(t) $. Temos $ e^{\frac{t+2}{3}} $, que podemos reescrever como:
Aqui, usamos a propriedade dos expoentes que diz que $ e^{a + b} = e^a \cdot e^b $.
Passo 3
Agora, reescrevemos a função $ f(t) $ com essa simplificação:
Observamos que $ e^{\frac{2}{3}} $ é uma constante, então podemos fatorá-la para facilitar a aplicação da transformada de Laplace.
Passo 4
Vamos reescrever a função destacando a constante:
Agora, nossa função está na forma de um polinômio multiplicado por uma função exponencial, o que nos permite usar a propriedade da transformada de Laplace para $ e^{at}f(t) $.
Passo 5
A propriedade da transformada de Laplace para $ e^{at}f(t) $ diz que:
onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $. Aqui, $ a = \frac{1}{3} $.
Passo 6
Vamos identificar $ f(t) $ na nossa expressão, que é $ (2t - 3) $. Precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa parte. Sabemos que:
e
Portanto,
Passo 7
Agora, aplicamos a propriedade da função exponencial que mencionamos no passo 5, substituindo $ s $ por $ s - \frac{1}{3} $:
Passo 8
Não esqueçamos que nós também temos a constante $ e^{\frac{2}{3}} $ multiplicando a função. Como a transformada de Laplace é linear, podemos multiplicar a transformada encontrada pelo fator constante:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) = (2t - 3)e^{\frac{t+2}{3}} $ é: