Use uma tabela básica de transformada de Laplace e suas propriedades para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
a) f(t)=(2 t-3) e^t+23.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = (2t - 3)e^{\frac{t+2}{3}} $. Estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela básica de transformadas de Laplace e algumas propriedades, como a de função exponencial e a de multiplicação por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão exponencial na função $ f(t) $. Temos $ e^{\frac{t+2}{3}} $, que podemos reescrever como:
f(t)
Aqui, usamos a propriedade dos expoentes que diz que $ e^{a + b} = e^a \cdot e^b $.

Passo 3

Agora, reescrevemos a função $ f(t) $ com essa simplificação:
f(t)
Observamos que $ e^{\frac{2}{3}} $ é uma constante, então podemos fatorá-la para facilitar a aplicação da transformada de Laplace.

Passo 4

Vamos reescrever a função destacando a constante:
f(t) = e^23 cdot (2t - 3) cdot e^t3
Agora, nossa função está na forma de um polinômio multiplicado por uma função exponencial, o que nos permite usar a propriedade da transformada de Laplace para $ e^{at}f(t) $.

Passo 5

A propriedade da transformada de Laplace para $ e^{at}f(t) $ diz que:
e^atf(t)
onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $. Aqui, $ a = \frac{1}{3} $.

Passo 6

Vamos identificar $ f(t) $ na nossa expressão, que é $ (2t - 3) $. Precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa parte. Sabemos que:
f(t)
e
(2t - 3)
Portanto,
Lt = 1s^2

Passo 7

Agora, aplicamos a propriedade da função exponencial que mencionamos no passo 5, substituindo $ s $ por $ s - \frac{1}{3} $:
s

Passo 8

Não esqueçamos que nós também temos a constante $ e^{\frac{2}{3}} $ multiplicando a função. Como a transformada de Laplace é linear, podemos multiplicar a transformada encontrada pelo fator constante:
e^23

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) = (2t - 3)e^{\frac{t+2}{3}} $ é:
f(t) = (2t - 3)e^t+23

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