Determine:

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2+1(x^2-2x+2)^2,dx. O conteúdo é integral de função racional, e para resolver vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois decompor o numerador para integrar por partes conhecidas (arctan e derivadas).

Passo 2

Primeiro, complete o quadrado em x^2-2x+2:
x^2-2x+2 = (x-1)^2 + 1
Então fazemos a troca de variável u = x-1, de modo que dx = du e
x^2+1 = (u+1)^2 + 1 = u^2 + 2u + 2,
portanto a integral vira
integral u^2 + 2u + 2(u^2+1)^2,du

Passo 3

Agora vamos decompor o numerador u^2+2u+2 em duas partes que facilitam a integração:
u^2+2u+2 = (u^2+1) + (2u+1)
Logo a integral se separa como
integral u^2+1(u^2+1)^2,du + integral 2u+1(u^2+1)^2,du = integral 1u^2+1,du + integral 2u+1(u^2+1)^2,du

Passo 4

Vamos integrar cada parte:
  • integral 1u^2+1,du = arctan u
  • integral 2u(u^2+1)^2,du: usamos t = u^2+1, dt = 2u,du, então fica
    integral t^-2,dt = -1t = -1u^2+1
  • integral 1(u^2+1)^2,du: é uma integral padrão que dá integral 1(u^2+1)^2,du = u2(u^2+1) + 12arctan u

Passo 5

Somando tudo, obtemos uma primitiva em u:
F(u) = arctan u ; - ; 1u^2+1 ; + ; l(u2(u^2+1) + 12arctan ur) + C = 32arctan u + u2(u^2+1) - 1u^2+1 + C
Voltando a u = x-1 e lembrando que u^2+1 = x^2-2x+2, temos
F(x) = 32arctan(x-1) + x-12(x^2-2x+2) - 1x^2-2x+2 + C
e simplificando os termos racionais: combinação dos últimos dois termos dá x-32(x^2-2x+2).

Resposta

integral x^2+1(x^2-2x+2)^2,dx = 32arctan(x-1) + x-32,(x^2-2x+2) + C.

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