Use uma tabela para encontrar a transformada inversa de Laplace.
L^{-1} { (6s + 3) / [(s^2 + 1)(s^2 + 4)] }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve usar teoria sobre transformadas de Laplace e métodos de frações parciais para simplificar a expressão antes de encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, a gente vai decompôr a fração em partes menores usando frações parciais. Queremos escrever como , onde A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, ficamos com:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos para facilitar a comparação.

Passo 4

Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de s de ambos os lados:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B, C e D.

Passo 6

Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação:
Então, .
Da segunda equação, .
Substituindo na quarta equação:
Então, .

Passo 7

Agora que temos os valores:
Substituindo de volta na decomposição das frações parciais:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente usando uma tabela de transformadas de Laplace.
Sabemos que:

Passo 9

Vamos separar os termos:
E:

Passo 10

Aplicando a transformada inversa:

Passo 11

Juntando tudo:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é .

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