Em cada item, determine o crescimento máximo da função f no ponto P e em que sentido isso ocorre. Sugestão. Use o exercício C2.
(g) f(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x, P=(0,0,0).

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=x e^y + y e^z + z e^x e o ponto P=(0,0,0). O objetivo é encontrar o crescimento máximo de f em P e o sentido em que isso ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=e^y + z e^x,
partial fpartial y=x e^y + e^z e
partial fpartial z=y e^z + e^x.

Passo 3

Avaliando essas derivadas em P=(0,0,0) temos
partial fpartial x(0,0,0)=1,
partial fpartial y(0,0,0)=1 e
partial fpartial z(0,0,0)=1.
Assim, o gradiente em P é nabla f(0,0,0)=(1,1,1).

Passo 4

O crescimento máximo de f em P é a norma de nabla f(0,0,0), ou seja |(1,1,1)|=raiz3, e isso ocorre na direção de nabla f(0,0,0), isto é, no sentido do vetor unitário 1raiz3(1,1,1).

Resposta

O crescimento máximo de f em P é raiz3 e ocorre na direção de 1raiz3(1,1,1).

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