Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathcal{L}\left\{t^{4} e^{5 t}-e^{t} \cos \sqrt{7} t\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{4} e^{5 t}-e^{t} \cos \sqrt{7}\,t,
usando a tabela de transformadas e a linearidade da transformada de Laplace. Portanto a pergunta é: calcular \mathcal{L}\{t^{4} e^{5 t}-e^{t} \cos \sqrt{7}\,t\}. As informações relevantes são exatamente os dois termos que compõem f(t).

Passo 2

Primeiro lembrete essencial (vidinha básica da Laplace): a transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}g(t)\,dt,
quando essa integral converge. Uma propriedade fundamental e muito prática é a linearidade:
\mathcal{L}\{A(t)+B(t)\}=\mathcal{L}\{A(t)\}+\mathcal{L}\{B(t)\},
e para constante c,
\mathcal{L}\{c\,A(t)\}=c\,\mathcal{L}\{A(t)\}.
Isso nos permite tratar cada termo separadamente e depois somar (ou subtrair) as transformadas.

Passo 3

Fórmula útil da tabela (muito usada em provas): para inteiro não-negativo n,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui n! é fatorial: n!=1\cdot2\cdot\cdots\cdot n. Exemplo simples: \mathcal{L}\{t\}=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao termo t^{4} obtemos
\mathcal{L}\{t^{4}\}(s)=\frac{4!}{s^{5}}=\frac{24}{s^{5}}.

Passo 5

Outra fórmula da tabela (ou propriedade) que precisamos é o deslocamento exponencial: se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então para qualquer constante a
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s-a).
A ideia por trás é direta: na definição basta juntar os exponenciais e obter \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}g(t)\,dt, que é G(s-a). Note que a região de convergência desloca-se: se G(s) converge para \operatorname{Re}(s)>\sigma_0, então \mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s) converge para \operatorname{Re}(s)>\sigma_0+a.

Passo 6

Aplicando o deslocamento exponencial ao primeiro termo t^{4}e^{5t}: já sabemos \mathcal{L}\{t^{4}\}(s)=24/s^{5}, então
\mathcal{L}\{t^{4}e^{5t}\}(s)=\frac{24}{(s-5)^{5}}.
A região de convergência desse termo é \operatorname{Re}(s)>5.

Passo 7

Agora o segundo termo: tabela básica para cosseno. Para \omega>0,
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. No nosso caso \omega=\sqrt{7}, então
\mathcal{L}\{\cos(\sqrt{7}\,t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+7}.

Passo 8

Aplicando o deslocamento exponencial ao termo e^{t}\cos(\sqrt{7}\,t) (aqui a=1): substitui-se s por s-1 na transformada do cosseno:
\mathcal{L}\{e^{t}\cos(\sqrt{7}\,t)\}(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+7}.
A região de convergência desse termo é \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 9

Agora juntamos tudo usando a linearidade (lembrando que o segundo termo aparece com sinal menos):
\mathcal{L}\{t^{4} e^{5 t}-e^{t} \cos \sqrt{7}\,t\}(s) =\frac{24}{(s-5)^{5}}-\frac{s-1}{(s-1)^{2}+7}.
A região de convergência conjunta é a interseção das regiões de cada termo; portanto a transformada dada vale para \operatorname{Re}(s)>5.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{4} e^{5 t}-e^{t} \cos \sqrt{7}\,t\}(s)=\frac{24}{(s-5)^{5}}-\frac{s-1}{(s-1)^{2}+7}

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