Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a transformada de Laplace da função
usando a tabela de transformadas e a linearidade da transformada de Laplace. Portanto a pergunta é: calcular
. As informações relevantes são exatamente os dois termos que compõem
.
Passo 2
Primeiro lembrete essencial (vidinha básica da Laplace): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
quando essa integral converge. Uma propriedade fundamental e muito prática é a linearidade:
e para constante
,
Isso nos permite tratar cada termo separadamente e depois somar (ou subtrair) as transformadas.
Passo 3
Fórmula útil da tabela (muito usada em provas): para inteiro não-negativo
,
válida para
. Aqui
é fatorial:
. Exemplo simples:
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao termo
obtemos
Passo 5
Outra fórmula da tabela (ou propriedade) que precisamos é o deslocamento exponencial: se
, então para qualquer constante
A ideia por trás é direta: na definição basta juntar os exponenciais e obter
, que é
. Note que a região de convergência desloca-se: se
converge para
, então
converge para
.
Passo 6
Aplicando o deslocamento exponencial ao primeiro termo
: já sabemos
, então
A região de convergência desse termo é
.
Passo 7
Agora o segundo termo: tabela básica para cosseno. Para
,
válida para
. No nosso caso
, então
Passo 8
Aplicando o deslocamento exponencial ao termo
(aqui
): substitui-se
por
na transformada do cosseno:
A região de convergência desse termo é
.
Passo 9
Agora juntamos tudo usando a linearidade (lembrando que o segundo termo aparece com sinal menos):
A região de convergência conjunta é a interseção das regiões de cada termo; portanto a transformada dada vale para
.