Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathcal{L}\left\{e^{3 t} \operatorname{sen}(6 t)-t^{3}+e^{t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
e^{3t}\operatorname{sen}(6t)-t^{3}+e^{t}.
As informações relevantes (que vou usar) são as três parcelas separadas:
  • e^{3t}\operatorname{sen}(6t),
  • -t^{3},
  • e^{t}.
Também vou usar a linearidade da transformada (a transformada da soma é a soma das transformadas, e constantes saem multiplicando) e tabelas/fórmulas padrão:
\begin{aligned} &\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},\\[4pt] &\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad(n\in\mathbb{N}),\\[4pt] &\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}, \end{aligned}
além da propriedade de deslocamento no domínio de s:
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\quad\text{se }\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).]

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\{e^{3t}\operatorname{sen}(6t)\}.
Primeiro lembro a fórmula para \operatorname{sen}: \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(bt)\}=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}. Aqui b=6, então
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(6t)\}=\frac{6}{s^{2}+36}.
Agora uso a propriedade de deslocamento: multiplicar por e^{3t} corresponde a substituir s por s-3 na transformada de \operatorname{sen}(6t). Assim
\mathcal{L}\{e^{3t}\operatorname{sen}(6t)\}=\frac{6}{(s-3)^{2}+36}.
Observação sobre convergência: essa parcela exige \operatorname{Re}(s)>3.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{-t^{3}\}.
Uso a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}. Para n=3 tem-se 3!=6, logo
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{6}{s^{4}}.
Como a parcela é negativa, ficamos com
\mathcal{L}\{-t^{3}\}=-\frac{6}{s^{4}}.
(se quiseres ver por integração: \int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-st}\,dt=3!/s^{4}, obtido por integração por partes repetida; exige \operatorname{Re}(s)>0.)

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{t}\}.
Pela fórmula \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} com a=1,
\mathcal{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1},
válido para \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 5

Combinar as três transformadas usando linearidade (somar as parcelas obtidas). Portanto
\mathcal{L}\{e^{3t}\operatorname{sen}(6t)-t^{3}+e^{t}\} =\frac{6}{(s-3)^{2}+36}-\frac{6}{s^{4}}+\frac{1}{s-1}.
A região comum de convergência é \operatorname{Re}(s)>3 (por causa do termo e^{3t}\operatorname{sen}(6t)).

Resposta

\frac{6}{(s-3)^{2}+36}-\frac{6}{s^{4}}+\frac{1}{s-1}

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