Use a tabela de transformadas de Laplace e a lineadridade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
As informações relevantes (que vou usar) são as três parcelas separadas:
-
, -
, -
.
Também vou usar a linearidade da transformada (a transformada da soma é a soma das transformadas, e constantes saem multiplicando) e tabelas/fórmulas padrão:
além da propriedade de deslocamento no domínio de
:
Passo 2
Calcular
.
Primeiro lembro a fórmula para
:
. Aqui
, então
Agora uso a propriedade de deslocamento: multiplicar por
corresponde a substituir
por
na transformada de
. Assim
Observação sobre convergência: essa parcela exige
.
Passo 3
Calcular
.
Uso a fórmula geral
. Para
tem-se
, logo
Como a parcela é negativa, ficamos com
(se quiseres ver por integração:
, obtido por integração por partes repetida; exige
.)
Passo 4
Calcular
.
Pela fórmula
com
,
válido para
.
Passo 5
Combinar as três transformadas usando linearidade (somar as parcelas obtidas). Portanto
A região comum de convergência é
(por causa do termo
).