Use a tabela de transformadas de Laplace e a linearidade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathscr{L}\left{t^{2}-3 t-2 e^{-t} \operatorname{sen} 3 t\right}
\mathscr{L}\left{t^{2}-3 t-2 e^{-t} \operatorname{sen} 3 t\right}
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
Informações dadas que vou usar:
- A função a transformar é
indicada acima. - Posso usar a linearidade da transformada de Laplace e a tabela de transformadas padrão (por exemplo
, e a propriedade de deslocamento ).
Passo 2
Usar a linearidade da transformada de Laplace: a transformada é linear, ou seja
onde
e
são constantes e
são funções de
. Aplicando isso a
temos
Passo 3
Calcular
. Da tabela, para inteiro
vale
onde
é a variável do domínio de Laplace (e a fórmula vale para
quando
é inteiro). Aqui
, então
Explicando:
é o fatorial de
(para
,
) e o expoente no denominador é
.
Passo 4
Calcular
(aparecerá multiplicado por
). Usando a mesma fórmula com
:
Portanto
Passo 5
Calcular
. Vou usar duas fórmulas da tabela:
- A transformada da senoides: para
,
válida para
originalmente.
2) A propriedade de deslocamento exponencial (teorema do deslocamento): se então
2) A propriedade de deslocamento exponencial (teorema do deslocamento): se
No nosso caso
(porque temos
) e
. Primeiro, para
temos
Aplicando o deslocamento com
substitui-se
por
:
Multiplicando pelo coeficiente
que aparece em
:
Observação:
, caso queira escrever o denominador expandido.
Passo 6
Somar as contribuições obtidas nos passos anteriores:
Região de convergência comum: as transformadas de
e
exigem
; a parte com
exige
. A interseção é
, portanto a expressão válida para
.