Use a tabela de transformadas de Laplace e a linearidade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
\mathscr{L}\left{t^{2}-3 t-2 e^{-t} \operatorname{sen} 3 t\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{2}-3t-2e^{-t}\sin 3t.
Informações dadas que vou usar:
  • A função a transformar é f(t) indicada acima.
  • Posso usar a linearidade da transformada de Laplace e a tabela de transformadas padrão (por exemplo \mathscr{L}\{t^{n}\}, \mathscr{L}\{\sin at\} e a propriedade de deslocamento e^{at}f(t)).

Passo 2

Usar a linearidade da transformada de Laplace: a transformada é linear, ou seja
\mathscr{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}=a\,\mathscr{L}\{g(t)\}+b\,\mathscr{L}\{h(t)\},
onde a e b são constantes e g,h são funções de t. Aplicando isso a f(t) temos
\mathscr{L}\{t^{2}-3t-2e^{-t}\sin 3t\} =\mathscr{L}\{t^{2}\}-3\mathscr{L}\{t\}-2\mathscr{L}\{e^{-t}\sin 3t\}.

Passo 3

Calcular \mathscr{L}\{t^{2}\}. Da tabela, para inteiro n\ge0 vale
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}},
onde s é a variável do domínio de Laplace (e a fórmula vale para \operatorname{Re}(s)>0 quando n é inteiro). Aqui n=2, então
\mathscr{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Explicando: n! é o fatorial de n (para n=2, 2!=2) e o expoente no denominador é n+1.

Passo 4

Calcular \mathscr{L}\{t\} (aparecerá multiplicado por -3). Usando a mesma fórmula com n=1:
\mathscr{L}\{t\}=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
-3\mathscr{L}\{t\}=-3\cdot\frac{1}{s^{2}}=-\frac{3}{s^{2}}.

Passo 5

Calcular \mathscr{L}\{e^{-t}\sin 3t\}. Vou usar duas fórmulas da tabela:
  1. A transformada da senoides: para a>0,
\mathscr{L}\{\sin a t\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0 originalmente.
2) A propriedade de deslocamento exponencial (teorema do deslocamento): se \mathscr{L}\{g(t)\}=G(s) então
\mathscr{L}\{e^{a t}g(t)\}=G(s-a).
No nosso caso a=-1 (porque temos e^{-t}) e g(t)=\sin 3t. Primeiro, para \sin 3t temos
\mathscr{L}\{\sin 3t\}=\frac{3}{s^{2}+9}.
Aplicando o deslocamento com a=-1 substitui-se s por s-(-1)=s+1:
\mathscr{L}\{e^{-t}\sin 3t\}=\frac{3}{(s+1)^{2}+9}.
Multiplicando pelo coeficiente -2 que aparece em f(t):
-2\mathscr{L}\{e^{-t}\sin 3t\}=-2\cdot\frac{3}{(s+1)^{2}+9}=-\frac{6}{(s+1)^{2}+9}.
Observação: (s+1)^{2}+9=s^{2}+2s+10, caso queira escrever o denominador expandido.

Passo 6

Somar as contribuições obtidas nos passos anteriores:
\mathscr{L}\{t^{2}-3t-2e^{-t}\sin 3t\} =\frac{2}{s^{3}}-\frac{3}{s^{2}}-\frac{6}{(s+1)^{2}+9}.
Região de convergência comum: as transformadas de t^{2} e t exigem \operatorname{Re}(s)>0; a parte com e^{-t}\sin 3t exige \operatorname{Re}(s)>-1. A interseção é \operatorname{Re}(s)>0, portanto a expressão válida para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\frac{2}{s^{3}}-\frac{3}{s^{2}}-\frac{6}{(s+1)^{2}+9}

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