Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
.
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
Passo 1
Na questão, temos a equação diferencial de primeira ordem
. O conteúdo é EDOs separáveis e vamos precisar reescrever a equação, separar as variáveis, integrar e resolver para
.
Passo 2
Reescrevendo
isolamos a derivada:
implica
. Se
for constante então
e da equação
vem
, logo
. Assim
é uma solução particular.
Passo 3
Para as demais soluções, onde
(ou seja
), separamos variáveis:
Passo 4
Para integrar
, fazemos a substituição
, daí
e
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Voltando a
:
dá
Passo 7
Exponenciando e reescrevendo a constante, obtemos
Passo 8
Assim a solução geral não constante é
Resposta
As soluções da equação são
ou