Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
log (|y|).

Passo 1

Na questão, temos a equação diferencial de primeira ordem e^-y(1+y')=1. O conteúdo é EDOs separáveis e vamos precisar reescrever a equação, separar as variáveis, integrar e resolver para y(x).

Passo 2

Reescrevendo e^-y(1+y')=1 isolamos a derivada: 1+y'=e^y implica y'=e^y-1. Se y for constante então y'=0 e da equação 0=e^y-1 vem e^y=1, logo y=0. Assim y(x)=0 é uma solução particular.

Passo 3

Para as demais soluções, onde e^y-1neq0 (ou seja yneq0), separamos variáveis:
dydx=e^y-1Longrightarrowdye^y-1=dx

Passo 4

Para integrar integral dy/(e^y-1), fazemos a substituição u=1-e^-y, daí du=e^-ydy e
dye^y-1=e^-ydy1-e^-y=-duu

Passo 5

Integrando ambos os lados:
-integralduu=integral dxLongrightarrow -ln|u|=x+C

Passo 6

Voltando a y: u=1-e^-y
-ln|1-e^-y|=x+CLongrightarrow ln|1-e^-y|=-(x+C)

Passo 7

Exponenciando e reescrevendo a constante, obtemos
1-e^-y=K e^-xLongrightarrow e^-y=1-K e^-xLongrightarrow e^y=11-K e^-x

Passo 8

Assim a solução geral não constante é
y(x)=-lnl(1-K e^-xr), que, redefinindo C=-K, fica
y(x)=-lnl(1+C e^xr), com a condição de existência do log 1+C e^x>0.

Resposta

As soluções da equação são
y(x)=0
ou
y(x)=-lnl(1+C e^xr), onde C é constante arbitrária e 1+C e^x>0.

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