Determinar os valores de
para os quais a EDO dada tem soluções da forma
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
O que a questão pede é descobrir os valores de $ r $ para os quais uma solução da forma $ y = t^{r} $ funciona, onde $ t > 0 $. Para isso, vamos usar o método das soluções por potências, que é ótimo para esse tipo de EDO chamada de equação de Cauchy-Euler.
Passo 2
Primeiro, precisamos assumir que a solução tem a forma $ y = t^{r} $. Isso significa que vamos derivar essa expressão para encontrar as primeiras e segundas derivadas de $ y $ em relação a $ t $.
A primeira derivada de $ y $ é:
E a segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
- $ t^{2} \cdot r (r - 1) t^{r - 2} = r (r - 1) t^{r} $
- $ 3 t \cdot r t^{r - 1} = 3 r t^{r} $
- $ -2 t^{r} $ já está simplificado.
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos fatorar $ t^{r} $ da equação:
Como $ t^{r} $ nunca é zero para $ t > 0 $, podemos dividir os dois lados por $ t^{r} $, ficando:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática para $ r $:
Primeiro, expandimos:
Simplificando:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar $ r $:
Simplificando a raiz:
Então:
Resposta
Os valores de $ r $ são: