Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluções da forma y=t^r para t>0.
t^2 d^2 yd t^2+3 t d yd t-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
t^2 d^2 yd t^2 + 3 t d yd t - 2 y = 0
O que a questão pede é descobrir os valores de $ r $ para os quais uma solução da forma $ y = t^{r} $ funciona, onde $ t > 0 $. Para isso, vamos usar o método das soluções por potências, que é ótimo para esse tipo de EDO chamada de equação de Cauchy-Euler.

Passo 2

Primeiro, precisamos assumir que a solução tem a forma $ y = t^{r} $. Isso significa que vamos derivar essa expressão para encontrar as primeiras e segundas derivadas de $ y $ em relação a $ t $.
A primeira derivada de $ y $ é:
y = t^r
E a segunda derivada é:
y

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação original:
t^2 cdot ( r (r - 1) t^r - 2 ) + 3 t cdot ( r t^r - 1 ) - 2 t^r = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. $ t^{2} \cdot r (r - 1) t^{r - 2} = r (r - 1) t^{r} $
  2. $ 3 t \cdot r t^{r - 1} = 3 r t^{r} $
  3. $ -2 t^{r} $ já está simplificado.
Então, a equação fica:
t^2 cdot r (r - 1) t^r - 2 = r (r - 1) t^r

Passo 4

Vamos fatorar $ t^{r} $ da equação:
t^r
Como $ t^{r} $ nunca é zero para $ t > 0 $, podemos dividir os dois lados por $ t^{r} $, ficando:
t^r ( r (r - 1) + 3 r - 2 ) = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para $ r $:
Primeiro, expandimos:
r
Simplificando:
r^2 - r + 3 r - 2 = 0
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar $ r $:
r^2 + 2 r - 2 = 0
Simplificando a raiz:
r
Então:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2) 2 cdot 1 = -2 pm raiz4 + 8 2 = -2 pm raiz12 2

Resposta

Os valores de $ r $ são:
r

Exercícios relacionados