Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
\int x^{2} \ln (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\ln(2x)\,dx
usando a técnica de integração por partes e depois derivar o resultado para verificar. O conteúdo principal aqui é a fórmula de integração por partes, que diz:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para aplicar, precisamos escolher u e dv de modo que consigamos calcular du e v facilmente.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(2x), \quad dv = x^{2}\,dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(2x)\bigr]\,dx = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}\ln(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{3}}{3}\ln(2x) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integral restante:
\int x^{2}\ln(2x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(2x) - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(2x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} + C = \frac{x^{3}}{3}\ln(2x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos o resultado:
F(x) = \frac{x^{3}}{3}\ln(2x) - \frac{x^{3}}{9}.
Então
F'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl[\frac{x^{3}}{3}\ln(2x)\Bigr] - \frac{d}{dx}\Bigl[\frac{x^{3}}{9}\Bigr].
Usando produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{x^{3}}{3}\ln(2x)\Bigr] = x^{2}\ln(2x) + \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} = x^{2}\ln(2x) + \frac{x^{2}}{3},
\frac{d}{dx}\Bigl[\frac{x^{3}}{9}\Bigr] = \frac{3x^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{3}.
Subtraindo,
F'(x) = \bigl(x^{2}\ln(2x) + \tfrac{x^{2}}{3}\bigr) - \tfrac{x^{2}}{3} = x^{2}\ln(2x),
que é justamente o integrando original.

Resposta

\int x^{2}\ln(2x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(2x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

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