Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
\int x \ln 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \ln(3x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(3x), \quad dv = x\,dx.
Isso porque a derivada de \ln(3x) simplifica bem e \int x\,dx é direto.

Passo 3

Derivamos u e integramos dv:
du = d\bigl(\ln(3x)\bigr) = \frac{1}{3x}\,d(3x) = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Agora aplicamos a fórmula:

Passo 4

\int x \ln(3x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \frac{x^2}{2}\,\ln(3x) \;-\;\int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{1}{2}\int x\,dx.
E \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}, logo

Passo 5

\int x \ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{x^2}{4} + C.

Passo 6

Para verificar, definimos
F(x) = \frac{x^2}{2}\ln(3x) - \frac{x^2}{4}
e derivamos:
F'(x) = \Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr)'\ln(3x) + \frac{x^2}{2}\Bigl(\ln(3x)\Bigr)' - \Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)' = x\,\ln(3x) + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln(3x) + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln(3x),
que é justamente o integrando.

Resposta

\int x \ln(3x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x) \;-\;\frac{x^2}{4} + C.

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