Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
\int x^{2} \cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\cos 3x\,dx
usando a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Vamos escolher u de modo a reduzir o grau do polinômio x^2 e aplicar a fórmula duas vezes.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = \cos 3x\,dx
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du = 2x\,dx,\quad v = \int \cos 3x\,dx = \tfrac{1}{3}\sin 3x.
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}\cos 3x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{3}\sin 3x \;-\;\frac{2}{3}\int x\sin 3x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int x\sin 3x\,dx.
De novo, por partes, seja
u_{1}=x,\quad dv_{1}=\sin 3x\,dx \quad\Longrightarrow\quad du_{1}=dx,\quad v_{1}=-\tfrac{1}{3}\cos 3x.
Então
\int x\sin 3x\,dx = u_{1}v_{1} - \int v_{1}du_{1} = -\frac{x}{3}\cos 3x + \frac{1}{3}\int \cos 3x\,dx = -\frac{x}{3}\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x.

Passo 4

Substituindo esse resultado em \int x^{2}\cos 3x\,dx, obtemos
\int x^{2}\cos 3x\,dx = \frac{x^{2}}{3}\sin 3x - \frac{2}{3}\Bigl(-\frac{x}{3}\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x\Bigr) + C = \frac{x^{2}}{3}\sin 3x + \frac{2x}{9}\cos 3x - \frac{2}{27}\sin 3x + C.

Passo 5

Para verificar, derivamos
F(x)=\frac{x^{2}}{3}\sin 3x + \frac{2x}{9}\cos 3x - \frac{2}{27}\sin 3x.
Usando regra do produto e \tfrac{d}{dx}\sin 3x=3\cos 3x, \tfrac{d}{dx}\cos 3x=-3\sin 3x, obtém-se
F'(x)=x^{2}\cos 3x,
que é exatamente o integrando.

Resposta

\int x^{2}\cos 3x\,dx = \frac{x^{2}}{3}\sin 3x \;+\;\frac{2x}{9}\cos 3x \;-\;\frac{2}{27}\sin 3x + C.

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