Considerando a função
tal que
e
encontre, utilizando a regra da cadeia, as derivadas parciais
,
Passo 1
Nesse exercício temos uma função composta de três variáveis intermediárias. O enunciado diz que
com
e pede a derivada parcial
usando regra da cadeia. Vamos precisar do conceito de derivada de função composta e das derivadas parciais de cada parte.
Passo 2
A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que
Então nosso objetivo é achar as derivadas parciais
,
,
e também
,
,
.
Passo 3
Como
, lembramos que a derivada de
em relação a
é
, e aqui
. Usando derivada de função composta:
Passo 4
Agora vamos derivar
em relação a
:
- Como
e é tratado como constante, temos
- Como
, com constante,
- E para
, a derivada de em relação a é o próprio exponencial vezes a derivada do expoente , logo
Passo 5
Unindo tudo pela regra da cadeia:
Podemos colocar tudo sobre o mesmo denominador
e depois substituir
:
Passo 6
Substituindo
,
e
na expressão acima, a forma final fica: