Considerando a função
f(u, v, w)=raizu^2+v^2+w^2
tal que u=x e^y, v=y e^x e w=e^x y encontre, utilizando a regra da cadeia, as derivadas parciais partial fpartial x,

Passo 1

Nesse exercício temos uma função composta de três variáveis intermediárias. O enunciado diz que
f(u,v,w)=raizu^2+v^2+w^2
com
u=xe^y, v=ye^x, w=e^xy
e pede a derivada parcial ∂f/∂x usando regra da cadeia. Vamos precisar do conceito de derivada de função composta e das derivadas parciais de cada parte.

Passo 2

A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que
∂f∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x+∂f∂w∂w∂x
Então nosso objetivo é achar as derivadas parciais ∂f/∂u, ∂f/∂v, ∂f/∂w e também ∂u/∂x, ∂v/∂x, ∂w/∂x.

Passo 3

Como f(u,v,w)=raizu^2+v^2+w^2, lembramos que a derivada de raizZ em relação a Z é 1/(2raizZ), e aqui Z=u^2+v^2+w^2. Usando derivada de função composta:
∂f∂u=12raizu^2+v^2+w^2cdot 2u=uraizu^2+v^2+w^2,
∂f∂v=vraizu^2+v^2+w^2,
∂f∂w=wraizu^2+v^2+w^2

Passo 4

Agora vamos derivar u,v,w em relação a x:
  • Como u=xe^y e y é tratado como constante, temos
∂u∂x=e^y
  • Como v=ye^x, com y constante,
∂v∂x=y e^x
  • E para w=e^xy, a derivada de e^xy em relação a x é o próprio exponencial vezes a derivada do expoente (xy)'x=y, logo
∂w∂x=y e^xy

Passo 5

Unindo tudo pela regra da cadeia:
∂f∂x=uraizu^2+v^2+w^2,e^y+vraizu^2+v^2+w^2,y e^x+wraizu^2+v^2+w^2,y e^xy
Podemos colocar tudo sobre o mesmo denominador raizu^2+v^2+w^2 e depois substituir u,v,w:
∂f∂x=u e^y+v,y e^x+w,y e^xyraizu^2+v^2+w^2

Passo 6

Substituindo u=x e^y, v=y e^x e w=e^xy na expressão acima, a forma final fica:
∂f∂x=x e^2y+y^2 e^2x+y e^2xyraizx^2 e^2y+y^2 e^2x+e^2xy

Resposta

∂f∂x=x e^2y+y^2 e^2x+y e^2xyraizx^2 e^2y+y^2 e^2x+e^2xy

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