Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
u^prime(t)+(1 / t) u(t)=4 cos (2 t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem u'(t)+tfrac1tu(t)=4cos(2t). O conteúdo é equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Identificamos P(t)=tfrac1t e Q(t)=4cos(2t). O fator integrante é dado por
mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integraltfrac1tdt=e^ln|t|=t(considerando t>0)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=t, obtendo
t,u'(t)+u(t)=4tcos(2t)
que é equivalente a
ddtl(t,u(t)r)=4tcos(2t)
Agora integramos ambos os lados:

Passo 4

Para calcular
integral4tcos(2t),dt
usamos integração por partes (tomando A=4t e dB=cos(2t)dt), o que dá
integral4tcos(2t)dt=2tsin(2t)+cos(2t)+C
Logo
t,u(t)=2tsin(2t)+cos(2t)+C

Passo 5

Por fim, isolamos u(t):
u(t)=2sin(2t)+cos(2t)t+Ct
Essa é a solução geral da EDO para t>0.

Resposta

u(t)=2\sin(2t)+\frac{\cos(2t)}{t}+\frac{C}{t}

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