Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
t u^prime(t)+3 u(t)=sen(t).

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
t,u'(t) + 3,u(t) = sin(t)
O conteúdo é equação linear de 1ª ordem e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo por t (assumindo tneq0), colocamos no formato padrão
u'(t) + 3t,u(t) = sin(t)t

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = e^integral 3t,dt = e^3ln|t| = t^3,
assumindo t>0 (para t<0 funciona de modo análogo).

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por t^3:
t^3 u'(t) + 3t^2 u(t) = t^2 sin(t)
O lado esquerdo é exatamente a derivada
(t^3 u(t))' = t^3 u'(t) + 3t^2 u(t)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral (t^3 u(t))',dt = integral t^2 sin(t),dt Longrightarrow t^3 u(t) = integral t^2 sin(t),dt + C

Passo 6

Para calcular integral t^2sin(t),dt, usamos integração por partes duas vezes:
Primeiro, com v1=t^2, dw1=sin(t)dt:
integral t^2sin(t),dt = -t^2cos(t) + integral 2tcos(t),dt
Depois, para integral 2tcos(t),dt = 2integral tcos(t),dt, aplicamos de novo com v2=t, dw2=cos(t)dt:
integral tcos(t),dt = tsin(t) - integral sin(t),dt = tsin(t) + cos(t)
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integral t^2sin(t),dt = -t^2cos(t) + 2tsin(t) + 2cos(t)

Passo 7

Substituindo na expressão para t^3u(t):
t^3u(t) = -t^2cos(t) + 2tsin(t) + 2cos(t) + C
Dividindo por t^3, chegamos à solução geral
u(t) = -cos(t)t + 2sin(t)t^2 + 2cos(t)t^3 + Ct^3

Resposta

u(t) = -\frac{\cos(t)}{t} + \frac{2\sin(t)}{t^2} + \frac{2\cos(t)}{t^3} + \frac{C}{t^3}

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