Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
y^prime(x)+y(x)^2 sen(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem separável
y'(x) + y(x)^2 sin(x) = 0
O conteúdo principal é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação para deixar y' sozinho e separar as variáveis:
y' = dydx = -y^2sin(x)
Então separo y e x:
dyy^2 = -sin(x),dx
Agora integro ambos os lados.

Passo 3

Faço as integrais:
integral dyy^2 = integral -sin(x),dx
A integral do lado esquerdo é
integral y^-2,dy = -y^-1 + C1
e a do direito é
integral -sin(x),dx = cos(x) + C2
Logo,
-1y = cos(x) + C
onde C = C2 - C1.

Passo 4

Isolo y:
-1y = cos(x) + C
1y = -cos(x) - C = C' - cos(x), C' = -C
y(x) = 1C' - cos(x)
Além disso, existe a solução trivial y(x)=0, que satisfaz y'+y^2sin x=0 diretamente.

Resposta

As soluções gerais são
y(x) = 1C - cos(x), CinR,
e a solução trivial
y(x)=0

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