Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
(d y / d x)(x)=x^2 /(1+y(x)^2).

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e é do tipo separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação de modo a agrupar todos os termos que envolvem y com dy e todos os termos que envolvem x com dx. Assim, partindo de
dydx=x^21+y^2,
multiplicamos ambos os lados por 1+y^2 e por dx, obtendo
(1+y^2),dy = x^2,dx

Passo 3

Em seguida, integramos cada lado separadamente. Do lado esquerdo, integramos em relação a y, e do lado direito, em relação a x:
integral(1+y^2),dy = integral x^2,dx
Calculando as primitivas, temos
integral1,dy = y,
integral y^2,dy = y^33,
integral x^2,dx = x^33
Portanto,
y + y^33 = x^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Podemos ainda multiplicar tudo por 3 para simplificar a aparência da solução implícita, ficando
3y + y^3 = x^3 + C',
onde C'=3C é outra constante arbitrária. Essa relação define a solução geral de forma implícita. Resolver explicitamente para y levaria a uma equação cúbica, então normalmente deixamos na forma acima.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
y + y^33 = x^33 + C,
ou, equivalentemente,
3y + y^3 = x^3 + C',
onde C (ou C') é a constante de integração.

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