Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
.
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e é do tipo separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação de modo a agrupar todos os termos que envolvem
com
e todos os termos que envolvem
com
. Assim, partindo de
multiplicamos ambos os lados por
e por
, obtendo
Passo 3
Em seguida, integramos cada lado separadamente. Do lado esquerdo, integramos em relação a
, e do lado direito, em relação a
:
Calculando as primitivas, temos
Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Podemos ainda multiplicar tudo por 3 para simplificar a aparência da solução implícita, ficando
onde
é outra constante arbitrária. Essa relação define a solução geral de forma implícita. Resolver explicitamente para
levaria a uma equação cúbica, então normalmente deixamos na forma acima.
Resposta
A solução geral está dada implicitamente por
ou, equivalentemente,
onde
(ou
) é a constante de integração.