Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
(1+e^t) u(t) u^prime(t)=e^t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
(1+e^t),u(t),u'(t)=e^t,
usando técnicas vistas em sala (equação separável). Vamos precisar saber separar variáveis e integrar.

Passo 2

Começamos reescrevendo a derivada e separando variáveis. Dividindo ambos os lados por (1+e^t),u(t) obtemos
u'(t)1 ;u(t) = e^t(1+e^t),u(t)Longrightarrow u(t),du = e^t1+e^t,dt

Passo 3

Agora integramos cada lado. Do lado esquerdo usamos integral u,du=tfracu^22. Do lado direito fica
integral e^t1+e^t,dt

Passo 4

Para resolver integral e^t1+e^t,dt fazemos a substituição v=1+e^t, logo dv=e^tdt. Assim temos
integral e^t1+e^t,dt = integral 1v,dv = ln|v| + C = ln(1+e^t) + C

Passo 5

Juntando as integrais:
u^22 = ln(1+e^t) + C
Multiplicando por 2 e renomeando a constante geral para C1, fica
u^2 = 2ln(1+e^t) + C1
Finalmente temos as soluções gerais

Passo 6

resolvendo para u(t):
u(t)=pmraiz2ln(1+e^t) + C1

Resposta

u(t)=±\sqrt{2\ln(1+e^{t}) + C}

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