Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
y^prime(x)=2 x /(y(x)+x^2 y(x)).

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem y'(x)=2xy(x)+x^2y(x). Esse tipo de equação é do tipo separável, ou seja, dá pra escrever em forma dydx=f(x)g(y) e então separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro a gente fatora o denominador em y'+x^2y=y(1+x^2), portanto
dydx=2xy(1+x^2)
Agora a gente separa as variáveis colocando tudo que depende de y de um lado e tudo que depende de x do outro:
$$
y,dy=\frac{2x}{1+x^2},dx
$$

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados. De um lado: integral y,dy=tfracy^22. Do outro: integral 2x1+x^2,dx=ln(1+x^2) (pois a derivada de 1+x^2 é 2x). Então fica:
$$\frac{y2}{2}=\ln(1+x2)+C
$$

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 e reunindo a constante, obtemos a forma implícita da solução:
y^2=2ln(1+x^2)+C1

Passo 5

Por fim, isolamos y. Como y^2=cdots, a solução geral é
y(x)=pmraiz2ln(1+x^2)+C1

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por y^2=2ln(1+x^2)+C, ou explicitamente
y(x)=pmraiz2ln(1+x^2)+C

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