Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem
. Esse tipo de equação é do tipo separável, ou seja, dá pra escrever em forma
e então separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro a gente fatora o denominador em
, portanto
Agora a gente separa as variáveis colocando tudo que depende de
$$
y,dy=\frac{2x}{1+x^2},dx
$$
Passo 3
Em seguida, integramos ambos os lados. De um lado:
. Do outro:
(pois a derivada de
é
). Então fica:
$$\frac{y2}{2}=\ln(1+x2)+C
$$
Passo 4
Multiplicando tudo por 2 e reunindo a constante, obtemos a forma implícita da solução:
Passo 5
Por fim, isolamos
. Como
, a solução geral é
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
, ou explicitamente