Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
u^prime(t)=e^t-u(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
u′(t)=e^{t−u(t)}. O conteúdo é separação de variáveis, pois podemos isolar termos em u de um lado e em t do outro. Vamos usar integração de exponenciais e introduzir uma constante de integração.

Passo 2

Começamos reescrevendo a derivada e separando variáveis. Temos
dudt=e^t-u=e^t,e^-u
Multiplicando ambos os lados por e^u dt, obtemos
e^u,du=e^t,dt

Passo 3

Agora integramos cada lado em relação à sua variável:
integral e^u,du=integral e^t,dt
Isso leva a
e^u=e^t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar u(t), aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Como e^u>0, temos
u(t)=lnl(e^t+Cr)

Passo 5

Portanto a família geral de soluções da equação diferencial é dada por
u(t)=lnl(e^t+Cr),
com C∈ℝ definindo cada solução específica.

Resposta

u(t)=\ln\bigl(e^t+C\bigr)

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