Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
u′(t)=e^{t−u(t)}. O conteúdo é separação de variáveis, pois podemos isolar termos em u de um lado e em t do outro. Vamos usar integração de exponenciais e introduzir uma constante de integração.
u′(t)=e^{t−u(t)}. O conteúdo é separação de variáveis, pois podemos isolar termos em u de um lado e em t do outro. Vamos usar integração de exponenciais e introduzir uma constante de integração.
Passo 2
Começamos reescrevendo a derivada e separando variáveis. Temos
Multiplicando ambos os lados por e^u dt, obtemos
Passo 3
Agora integramos cada lado em relação à sua variável:
Isso leva a
onde C é a constante de integração.
Passo 4
Para isolar u(t), aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Como e^u>0, temos
Passo 5
Portanto a família geral de soluções da equação diferencial é dada por
com C∈ℝ definindo cada solução específica.
Resposta
u(t)=\ln\bigl(e^t+C\bigr)