Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
t u^prime(t)+4 u(t)=t^5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
t,u'(t)+4,u(t)=t^5. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos precisar da técnica do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por t (assumindo tneq0):
u'(t)+4t,u(t)=t^4
Aqui identificamos
p(t)=4/t e g(t)=t^4.

Passo 3

Em seguida calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral 4t,dtr)=t^4
Multiplicando a equação padrão por mu(t) obtemos
t^4 u'(t)+4t^3u(t)=t^8,
que é exatamente
ddtl(t^4u(t)r)=t^8

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^4u(t)=integral t^8,dt=t^99+C,
onde C é a constante de integração. Depois isolamos u(t):
u(t)=t^59+C,t^-4

Resposta

u(t)=\frac{t5}{9}+C,t{-4}

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