Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
Toda transformação linear
é injetora.
Toda transformação linear
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Afirmativa: toda transformação linear
é injetora.”
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio:
(dimensão ). - Contradomínio:
(dimensão ). -
é linear. - Pergunta: a propriedade “injetora” vale para todo
com essas características?
Passo 2
Definições e critérios que vamos usar (explicados com calma):
- Núcleo (kernel) de
: . É o subespaço dos vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio. - Imagem (image) de
: . É um subespaço de . - Critério de injetividade para transformações lineares:
é injetora se, e somente se, . Em outras palavras: não existe vetor não-nulo que seja levado a zero.
Explicação do porquê do critério: se
então
. Assim
. Se
então
e
, logo
é injetora; e o raciocínio inverso também vale.
Passo 3
Enunciado do Teorema do Núcleo e da Imagem (teorema da dimensão, rank-nullity) e interpretação:
Aqui
é a dimensão do núcleo (número de graus de liberdade dos vetores que vão a zero) e
é o posto (rank) de
. Observações úteis:
-
(a imagem não pode ter dimensão maior que o domínio). - Pela fórmula acima, se queremos
então e assim . Ou seja, para ser injetora é necessário e suficiente que tenha dimensão máxima (posto completo). - Porém, nada no enunciado obriga
a ser ; pode ser menor (por exemplo ou ), e então seria positiva, tornando não injetora.
Passo 4
Construção de um contraexemplo explícito (modo direto de ver que a afirmação é falsa):
Considere a transformação linear nula definida por
Considere a transformação linear nula definida por
Verificações:
-
é linear (soma e multiplicação por escalar preservadas). - Para todo
vale , então e . - Pela definição de injetividade,
não é injetora, porque por exemplo com .
Esse contraexemplo mostra que existem transformações lineares
que NÃO são injetoras; portanto a afirmação “toda transformação linear …” é falsa.
Passo 5
Comentário final e intuição rápida: para uma transformação linear de um espaço de dimensão menor para um de dimensão maior a injetividade é possível (ex.: qualquer inclusão isomórfica de
em um subespaço de
de dimensão
é injetora), mas não é garantida para todas as transformações — haja vista o exemplo da transformação nula. Então não se pode afirmar que “toda” seja injetora.
Resposta
Falso