Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
Toda transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{5} é injetora.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{5} e pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Afirmativa: toda transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{5} é injetora.”
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3} (dimensão 3).
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{5} (dimensão 5).
  • T é linear.
  • Pergunta: a propriedade “injetora” vale para todo T com essas características?

Passo 2

Definições e critérios que vamos usar (explicados com calma):
  • Núcleo (kernel) de T: \ker T=\{v\in\mathbb{R}^{3}\mid T(v)=0\}. É o subespaço dos vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio.
  • Imagem (image) de T: \operatorname{im} T=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^{3}\}. É um subespaço de \mathbb{R}^{5}.
  • Critério de injetividade para transformações lineares: T é injetora se, e somente se, \ker T=\{0\}. Em outras palavras: não existe vetor não-nulo que seja levado a zero.
Explicação do porquê do critério: se T(v)=T(w) então T(v-w)=0. Assim v-w\in\ker T. Se \ker T=\{0\} então v-w=0 e v=w, logo T é injetora; e o raciocínio inverso também vale.

Passo 3

Enunciado do Teorema do Núcleo e da Imagem (teorema da dimensão, rank-nullity) e interpretação:
\dim\ker T + \dim\operatorname{im} T = \dim\mathbb{R}^{3} = 3.
Aqui \dim\ker T é a dimensão do núcleo (número de graus de liberdade dos vetores que vão a zero) e \dim\operatorname{im} T é o posto (rank) de T. Observações úteis:
  • \dim\operatorname{im} T\le \dim\mathbb{R}^{3}=3 (a imagem não pode ter dimensão maior que o domínio).
  • Pela fórmula acima, se queremos \ker T=\{0\} então \dim\ker T=0 e assim \dim\operatorname{im} T=3. Ou seja, para T ser injetora é necessário e suficiente que \operatorname{im} T tenha dimensão máxima 3 (posto completo).
  • Porém, nada no enunciado obriga \dim\operatorname{im} T a ser 3; pode ser menor (por exemplo 0,1 ou 2), e então \dim\ker T seria positiva, tornando T não injetora.

Passo 4

Construção de um contraexemplo explícito (modo direto de ver que a afirmação é falsa):
Considere a transformação linear nula definida por
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{5},\qquad T(x,y,z)=(0,0,0,0,0).
Verificações:
  • T é linear (soma e multiplicação por escalar preservadas).
  • Para todo v\in\mathbb{R}^{3} vale T(v)=0, então \ker T=\mathbb{R}^{3} e \dim\ker T=3.
  • Pela definição de injetividade, T não é injetora, porque por exemplo T(1,0,0)=T(0,0,0) com (1,0,0)\ne(0,0,0).
Esse contraexemplo mostra que existem transformações lineares T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{5} que NÃO são injetoras; portanto a afirmação “toda transformação linear …” é falsa.

Passo 5

Comentário final e intuição rápida: para uma transformação linear de um espaço de dimensão menor para um de dimensão maior a injetividade é possível (ex.: qualquer inclusão isomórfica de \mathbb{R}^{3} em um subespaço de \mathbb{R}^{5} de dimensão 3 é injetora), mas não é garantida para todas as transformações — haja vista o exemplo da transformação nula. Então não se pode afirmar que “toda” seja injetora.

Resposta

Falso

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