Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
Toda transformação linear
é bijetora.
Toda transformação linear
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
Toda transformação linear
é bijetora.
Informações dadas:
- Tem-se uma transformação linear
com domínio e contradomínio . - A pergunta pede decidir Verdadeiro/Falso para a propriedade “é bijetora” (ou seja, injectiva e sobrejetiva ao mesmo tempo).
Passo 2
Definições essenciais (devemos saber o que são núcleo e imagem):
- O núcleo (núcleo = “kernel”) de
é o conjunto
Ou seja, são os vetores que vão para o vetor nulo.
- A imagem (imagem = “image”) de
é o conjunto
Ou seja, todos os vetores que aparecem como saída de
.
Explicação intuitiva: o núcleo diz quais vetores “se perdem” (viram zero) pela transformação; a imagem diz qual é o espaço de saídas efetivas.
Passo 3
Conexão entre núcleo/imagem e injetividade/sobrejetividade (propriedades fundamentais):
-
é injetiva exatamente quando . Prova curta: se e então e assim , logo e . Reverso: se é injetiva e então . -
é sobrejetiva exatamente quando . Isso é a própria definição de sobrejetividade: toda saída possível em deve ser atingida por algum .
Portanto, para
ser bijetora precisamos simultaneamente de
e
.
Passo 4
Teorema do núcleo e da imagem (teorema da dimensão, rank–nullity) e suas consequências:
Para toda transformação linear vale
Para toda transformação linear
Aqui
significa a dimensão linear do subespaço indicado.
Consequência prática: os possíveis pares
são
ou
. Para que
seja bijetora precisamos do caso
: núcleo trivial (injetiva) e imagem de dimensão
(sobrejetiva).
Passo 5
Agora vamos usar o raciocínio anterior para decidir a afirmação. A afirmação diz que “toda” transformação linear
é bijetora. Isso exigiria que para qualquer
tivéssemos
e
. Mas o teorema do núcleo e da imagem permite outros valores possíveis para
(por exemplo
), então nada impede que existam transformações com
, e estas NÃO serão injetivas nem sobrejetivas.
Para tornar a coisa concreta, mostro exemplos simples de transformações lineares que não são bijetoras:
Exemplo 1 — mapa nulo:
Defina por
Defina
Aqui
(dimensão
) e
(dimensão
). Claramente
não é injetiva nem sobrejetiva.
Exemplo 2 — projeção no plano
:
Defina por
Defina
Calculando:
que tem dimensão
, então
não é injetiva. E
que é um plano (dimensão
), portanto
e
não é sobrejetiva.
Esses exemplos concretos mostram que existem transformações lineares
que não são bijetoras. Logo a afirmação universal é falsa.
Passo 6
Interpretação sintética e dica para prova em prova: uma transformação linear quadrada
é bijetora se, e somente se, sua matriz (na base canônica) for invertível, i.e., tiver determinante diferente de zero. Mas muitas matrizes têm determinante
— por exemplo a matriz da projeção
— daí aparecem os contraexemplos. Portanto não é verdade que “toda” transformação linear seja bijetora.
Resposta
Falso.