Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
Toda transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é bijetora.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
Toda transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é bijetora.
Informações dadas:
  • Tem-se uma transformação linear T com domínio e contradomínio \mathbb{R}^{3}.
  • A pergunta pede decidir Verdadeiro/Falso para a propriedade “é bijetora” (ou seja, injectiva e sobrejetiva ao mesmo tempo).

Passo 2

Definições essenciais (devemos saber o que são núcleo e imagem):
  • O núcleo (núcleo = “kernel”) de T é o conjunto
\ker T = \{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}.
Ou seja, são os vetores que vão para o vetor nulo.
  • A imagem (imagem = “image”) de T é o conjunto
\operatorname{im} T = \{T(v)\in\mathbb{R}^3 \mid v\in\mathbb{R}^3\}.
Ou seja, todos os vetores que aparecem como saída de T.
Explicação intuitiva: o núcleo diz quais vetores “se perdem” (viram zero) pela transformação; a imagem diz qual é o espaço de saídas efetivas.

Passo 3

Conexão entre núcleo/imagem e injetividade/sobrejetividade (propriedades fundamentais):
  • T é injetiva exatamente quando \ker T=\{0\}. Prova curta: se \ker T=\{0\} e T(u)=T(v) então T(u-v)=0 e assim u-v\in\ker T, logo u-v=0 e u=v. Reverso: se T é injetiva e T(v)=0 então v=0.
  • T é sobrejetiva exatamente quando \operatorname{im} T=\mathbb{R}^3. Isso é a própria definição de sobrejetividade: toda saída possível em \mathbb{R}^3 deve ser atingida por algum v.
Portanto, para T ser bijetora precisamos simultaneamente de \ker T=\{0\} e \operatorname{im} T=\mathbb{R}^3.

Passo 4

Teorema do núcleo e da imagem (teorema da dimensão, rank–nullity) e suas consequências:
Para toda transformação linear T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 vale
\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im} T) = \dim(\mathbb{R}^3) = 3.
Aqui \dim(\cdot) significa a dimensão linear do subespaço indicado.
Consequência prática: os possíveis pares \big(\dim(\ker T),\dim(\operatorname{im} T)\big) são (0,3), (1,2), (2,1) ou (3,0). Para que T seja bijetora precisamos do caso (0,3): núcleo trivial (injetiva) e imagem de dimensão 3 (sobrejetiva).

Passo 5

Agora vamos usar o raciocínio anterior para decidir a afirmação. A afirmação diz que “toda” transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é bijetora. Isso exigiria que para qualquer T tivéssemos \dim(\ker T)=0 e \dim(\operatorname{im} T)=3. Mas o teorema do núcleo e da imagem permite outros valores possíveis para \dim(\ker T) (por exemplo 1,2,3), então nada impede que existam transformações com \dim(\ker T)>0, e estas NÃO serão injetivas nem sobrejetivas.
Para tornar a coisa concreta, mostro exemplos simples de transformações lineares que não são bijetoras:
Exemplo 1 — mapa nulo:
Defina T_0:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T_0(v)=0\quad\text{para todo }v\in\mathbb{R}^3.
Aqui \ker T_0=\mathbb{R}^3 (dimensão 3) e \operatorname{im} T_0=\{0\} (dimensão 0). Claramente T_0 não é injetiva nem sobrejetiva.
Exemplo 2 — projeção no plano z=0:
Defina T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z)=(x,y,0).
Calculando:
\ker T=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\},
que tem dimensão 1, então T não é injetiva. E
\operatorname{im} T=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
que é um plano (dimensão 2), portanto \operatorname{im} T\neq\mathbb{R}^3 e T não é sobrejetiva.
Esses exemplos concretos mostram que existem transformações lineares \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que não são bijetoras. Logo a afirmação universal é falsa.

Passo 6

Interpretação sintética e dica para prova em prova: uma transformação linear quadrada T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é bijetora se, e somente se, sua matriz (na base canônica) for invertível, i.e., tiver determinante diferente de zero. Mas muitas matrizes têm determinante 0 — por exemplo a matriz da projeção \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix} — daí aparecem os contraexemplos. Portanto não é verdade que “toda” transformação linear seja bijetora.

Resposta

Falso.

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