Verdadeiro ou falso: Se soubermos T(\vec{v}) para n diferentes vetores não nulos de \mathbb{R}^{n}, então saberemos T(\vec{v}) para qualquer \vec{v} em \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado diz e o que ele pergunta. O enunciado afirma: “Se soubermos T(\vec{v}) para n diferentes vetores não nulos de \mathbb{R}^{n}, então saberemos T(\vec{v}) para qualquer \vec{v} em \mathbb{R}^{n}.”
Informações dadas:
  • O espaço considerado é \mathbb{R}^{n}.
  • n vetores diferentes e não nulos em \mathbb{R}^{n} para os quais sabemos os valores T(\vec{v}).
  • O enunciado não explicita se T é linear ou não (isso é informação que falta).
    O que é pedido:
  • Determinar se a afirmação acima é verdadeira ou falsa, e justificar.

Passo 2

Primeira observação conceitual (sem assumir a linearidade de T ainda): saber o valor de uma função num conjunto pequeno de pontos não garante saber os valores fora desse conjunto, salvo se houver estrutura que permita estender esses valores de forma única. Por exemplo, para uma função arbitrária T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} pode-se definir valores diferentes em pontos fora do conjunto conhecido sem violar os valores já dados. Logo, sem hipóteses adicionais sobre T ou sobre os vetores, a afirmação parece suspeita.

Passo 3

Agora vamos ao caso relevante em Álgebra Linear (é o caso que costuma ser o contexto quando aparece T sobre vetores): suponha que T seja uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}. Vou mostrar um contraexemplo concreto que prova que a afirmação, tal como está escrita, é falsa mesmo neste contexto. Considere n=2. Tome dois vetores distintos e não nulos em \mathbb{R}^{2}:
\vec{v}_1=(1,0),\qquad \vec{v}_2=(2,0).
Eles são diferentes e não nulos, mas estão colineares: \vec{v}_2=2\vec{v}_1. Agora construo duas transformações lineares T e S que coincidem em \vec{v}_1 e \vec{v}_2 mas são diferentes em outros vetores. Para isso, basta decidir as imagens dos vetores da base canônica \vec{e}_1=(1,0) e \vec{e}_2=(0,1).
Defina T por
T(\vec{e}_1)=(0,0),\qquad T(\vec{e}_2)=(0,0),
e defina S por
S(\vec{e}_1)=(0,0),\qquad S(\vec{e}_2)=(0,1).
Ambas são transformações lineares (pois são definidas por imagens da base e estendidas linearmente). Calculemos as imagens dos vetores dados:
T(\vec{v}_1)=T(\vec{e}_1)=(0,0),\qquad T(\vec{v}_2)=T(2\vec{e}_1)=2T(\vec{e}_1)=(0,0).
S(\vec{v}_1)=S(\vec{e}_1)=(0,0),\qquad S(\vec{v}_2)=S(2\vec{e}_1)=2S(\vec{e}_1)=(0,0).
Portanto T e S dão os mesmos valores em \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Mas T e S são diferentes porque, por exemplo,
T(\vec{e}_2)=(0,0)\neq (0,1)=S(\vec{e}_2).
Logo, mesmo sabendo T(\vec{v}) para dois vetores diferentes e não nulos em \mathbb{R}^2, não se consegue determinar T em todo \mathbb{R}^2. Isso mostra que a afirmação é falsa no caso n=2, e portanto é falsa em geral.

Passo 4

Explicação didática do porquê: o que falta na hipótese original é garantir que os n vetores formem uma base de \mathbb{R}^{n}. Vamos rever os conceitos essenciais, com linguagem simples.
  • Linearmente independentes: um conjunto de vetores \{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_k\} é linearmente independente se a única solução da combinação linear \alpha_1\vec{b}_1+\cdots+\alpha_k\vec{b}_k=\vec{0} é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Em palavras: nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros.
  • Geram (span): dizemos que os vetores geram \mathbb{R}^n se qualquer vetor \vec{v}\in\mathbb{R}^n pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
  • Base: é um conjunto de vetores que é linearmente independente e gera \mathbb{R}^n. Em \mathbb{R}^n uma base tem exatamente n vetores.
Fato-chave (muito usado em provas): para uma transformação linear T, basta conhecer T em uma base \{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_n\} para conhecer T em qualquer vetor. De fato, se
\vec{v}=a_1\vec{b}_1+\cdots+a_n\vec{b}_n,
então pela linearidade
T(\vec{v})=a_1 T(\vec{b}_1)+\cdots+a_n T(\vec{b}_n).
Essa expressão é única porque as coordenadas a_i são únicas quando \{\vec{b}_i\} é base. Por isso, conhecer T em todos os vetores de uma base determina T de forma única em todo \mathbb{R}^n.
Por outro lado, se os n vetores não formam uma base (ou seja, se forem linearmente dependentes ou não gerarem todo \mathbb{R}^n), então conhecê-los não é suficiente — como o contraexemplo mostrou, pode haver liberdade para definir T em vetores fora do subespaço gerado por eles.

Passo 5

Resumo e dica prática para prova (tom amigável): a afirmação dada é falsa no enunciado tal como está. Para que ela fique verdadeira é preciso acrescentar a hipótese "os n vetores formam uma base de \mathbb{R}^n" ou, equivalentemente, “os n vetores são linearmente independentes”. Se vir uma questão parecida na prova, sempre cheque se os vetores formam uma base — é essa condição que permite estender únicos valores de T para todos os vetores.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados