Use o Teorema 10.5 para provar que as seqüências dadas convergem. Calcule os limites de cada uma delas.
a_{n}=3-\frac{4}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=3-\frac{4}{n}
e pede para provar, usando o Teorema 10.5, que essa sequência converge e calcular o seu limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de a_{n} para cada n.
  • Não há restrições adicionais; n varia em \mathbb{N} e tende a infinito na noção habitual de limite de sequência.

Passo 2

Enunciado (útil) do Teorema 10.5 que vamos usar (forma padrão de regras de limites de sequências):
Sejam (x_n) e (y_n) sequências com limites \ell e m, respectivamente. Então valem as regras:
\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=\ell+m, \qquad \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=\ell-m,
\lim_{n\to\infty}(c\cdot x_n)=c\cdot\ell\quad\text{para todo }c\in\mathbb{R}, \qquad \lim_{n\to\infty}(x_n y_n)=\ell m.
Explicando cada parte de forma simples:
  • \ell e m são os limites das sequências (x_n) e (y_n).
  • A primeira linha diz que podemos somar (ou subtrair) limites termo a termo.
  • A segunda linha diz que uma constante multiplicando a sequência pode sair do limite como fator.
    Essas propriedades permitem obter limites de combinações simples de sequências conhecidas.

Passo 3

Primeiro, preciso de uma sequência simples cuja convergência sabemos e que aparece em a_n: a sequência \left(\dfrac{1}{n}\right). Vou provar que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Prova (epsilon–N, didática): seja \varepsilon>0. Escolha um inteiro N tal que
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Isso é possível porque os inteiros vão ao infinito. Para todo n\ge N temos n\ge N>1/\varepsilon, então
\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Logo, por definição de limite, \dfrac{1}{n}\to 0. Em palavras: conforme n cresce, 1/n fica arbitrariamente pequeno, tendendo a zero.

Passo 4

Agora aplico a parte do Teorema 10.5 sobre multiplicação por constante. Já tenho \dfrac{1}{n}\to 0. Tomando c=4, pelo Teorema 10.5 segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=4\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=4\cdot 0=0.
Explicando: multiplicar cada termo por 4 multiplica o limite por 4.

Passo 5

Considere agora a sequência constante 3, isto é, a sequência cujo termo geral é 3 para todo n. Essa sequência tem limite 3, pois para todo \varepsilon>0 basta qualquer N (os termos são exatamente 3). Pelo Teorema 10.5 (regra da soma/subtração de limites), juntando as duas sequências:
  • a sequência constante 3 com limite 3;
  • a sequência \dfrac{4}{n} com limite 0;
    obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{4}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}3-\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=3-0=3.
Em palavras: como \dfrac{4}{n} vai para zero, 3-\dfrac{4}{n} se aproxima de 3.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio: usando o Teorema 10.5 (regras de operações com limites) e a prova direta de que \dfrac{1}{n}\to 0, provou-se que a_n=3-\dfrac{4}{n} converge e seu limite é 3.

Resposta

3

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