Use o Teorema 10.5 para provar que as seqüências dadas convergem. Calcule os limites de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para provar, usando o Teorema 10.5, que essa sequência converge e calcular o seu limite.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
para cada . - Não há restrições adicionais;
varia em e tende a infinito na noção habitual de limite de sequência.
Passo 2
Enunciado (útil) do Teorema 10.5 que vamos usar (forma padrão de regras de limites de sequências):
Sejam e
sequências com limites
e
, respectivamente. Então valem as regras:
Sejam
Explicando cada parte de forma simples:
-
e são os limites das sequências e . - A primeira linha diz que podemos somar (ou subtrair) limites termo a termo.
- A segunda linha diz que uma constante multiplicando a sequência pode sair do limite como fator.
Essas propriedades permitem obter limites de combinações simples de sequências conhecidas.
Passo 3
Primeiro, preciso de uma sequência simples cuja convergência sabemos e que aparece em
: a sequência
. Vou provar que
Prova (epsilon–N, didática): seja
. Escolha um inteiro
tal que
Isso é possível porque os inteiros vão ao infinito. Para todo
temos
, então
Logo, por definição de limite,
. Em palavras: conforme
cresce,
fica arbitrariamente pequeno, tendendo a zero.
Passo 4
Agora aplico a parte do Teorema 10.5 sobre multiplicação por constante. Já tenho
. Tomando
, pelo Teorema 10.5 segue que
Explicando: multiplicar cada termo por
multiplica o limite por
.
Passo 5
Considere agora a sequência constante
, isto é, a sequência cujo termo geral é
para todo
. Essa sequência tem limite
, pois para todo
basta qualquer
(os termos são exatamente
). Pelo Teorema 10.5 (regra da soma/subtração de limites), juntando as duas sequências:
- a sequência constante
com limite ; - a sequência
com limite ;
obtemos
Em palavras: como
vai para zero,
se aproxima de
.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio: usando o Teorema 10.5 (regras de operações com limites) e a prova direta de que
, provou-se que
converge e seu limite é
.