Use o Teorema 10.5 para provar que as seqüências dadas convergem. Calcule os limites de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema 10.5 para provar que a sequência converge e calcular seu limite. A sequência dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula geral da sequência é
. - A tarefa é (i) mostrar que
converge usando o Teorema 10.5 e (ii) encontrar .
Passo 2
Enunciado (forma útil) do Teorema 10.5 que vamos usar: se duas sequências
e
convergem, digamos
e
, então a sequência soma
converge e
Aqui cada símbolo significa:
-
e são termos das duas sequências que convergem; -
e são os limites dessas sequências; - a conclusão é que a soma termo a termo converge para a soma dos limites.
Vamos aplicar esse teorema comsendo a sequência constante e sendo .
Passo 3
Mostrar que a sequência
converge e encontrar seu limite.
Explicação intuitiva:
é uma sequência geométrica com razão
, cujo valor absoluto da razão é menor que
; por isso os termos vão a
quando
.
Prova
-
simples (para ficar riguroso e exam-friendly):
Dado , existe
tal que
. (Isto ocorre porque a sequência
cresce sem limite quando
.) Para esse
, se
então
Dado
Portanto
.
Passo 4
Aplicar o Teorema 10.5 à sequência
.
Defina
(sequência constante) e
. Observações:
- A sequência
converge e (qualquer sequência constante converge para seu valor constante). - Pela Passo 3,
.
Pelo Teorema 10.5 (soma de limites),
Passo 5
Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): os termos
são positivos e estritamente decrescentes, logo
é decrescente e limitada inferiormente por
; isso também mostra que
converge e o único candidato possível para o limite é
, coerente com o resultado acima. Então tanto pela propriedade da soma de limites quanto por argumento monotônico+limitado obtemos o mesmo limite.