Use o Teorema 10.5 para provar que as seqüências dadas convergem. Calcule os limites de cada uma delas.
a_{n}=4+\frac{1}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema 10.5 para provar que a sequência converge e calcular seu limite. A sequência dada é
a_{n}=4+\frac{1}{2^{n}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula geral da sequência é \,a_{n}=4+\dfrac{1}{2^{n}}\,.
  • A tarefa é (i) mostrar que \{a_n\} converge usando o Teorema 10.5 e (ii) encontrar \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Enunciado (forma útil) do Teorema 10.5 que vamos usar: se duas sequências \{x_n\} e \{y_n\} convergem, digamos \lim_{n\to\infty} x_n = x e \lim_{n\to\infty} y_n = y, então a sequência soma \{x_n+y_n\} converge e
\lim_{n\to\infty} (x_n+y_n) = x + y.
Aqui cada símbolo significa:
  • x_n e y_n são termos das duas sequências que convergem;
  • x e y são os limites dessas sequências;
  • a conclusão é que a soma termo a termo converge para a soma dos limites.
    Vamos aplicar esse teorema com x_n sendo a sequência constante 4 e y_n sendo \dfrac{1}{2^n}.

Passo 3

Mostrar que a sequência b_n=\dfrac{1}{2^n} converge e encontrar seu limite.
Explicação intuitiva: \dfrac{1}{2^n} é uma sequência geométrica com razão \dfrac{1}{2}, cujo valor absoluto da razão é menor que 1; por isso os termos vão a 0 quando n\to\infty.
Prova \varepsilon- N simples (para ficar riguroso e exam-friendly):
Dado \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que 2^{N}>\dfrac{1}{\varepsilon}. (Isto ocorre porque a sequência 2^{n} cresce sem limite quando n\to\infty.) Para esse N, se n\ge N então
0\le \frac{1}{2^{n}} \le \frac{1}{2^{N}} < \varepsilon.
Portanto \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2^{n}} = 0.

Passo 4

Aplicar o Teorema 10.5 à sequência a_{n}=4+\dfrac{1}{2^{n}}.
Defina c_n=4 (sequência constante) e b_n=\dfrac{1}{2^n}. Observações:
  • A sequência c_n converge e \lim_{n\to\infty} c_n = 4 (qualquer sequência constante converge para seu valor constante).
  • Pela Passo 3, \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
    Pelo Teorema 10.5 (soma de limites),
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (c_n + b_n) = \lim_{n\to\infty} c_n + \lim_{n\to\infty} b_n = 4 + 0 = 4.

Passo 5

Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): os termos \dfrac{1}{2^n} são positivos e estritamente decrescentes, logo a_n é decrescente e limitada inferiormente por 4; isso também mostra que a_n converge e o único candidato possível para o limite é 4, coerente com o resultado acima. Então tanto pela propriedade da soma de limites quanto por argumento monotônico+limitado obtemos o mesmo limite.

Resposta

\displaystyle 4

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