Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de x para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
1+x^2+x^4+ldots+x^2 n+ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x a série 1 + x^2 + x^4 + dots + x^2n + dots é convergente e, em seguida, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica infinita, e vamos precisar do Teorema 11.15, que dá a condição de convergência e a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Escrevendo a série em forma de soma, temos sumn=0^infty x^2n. Nesse formato, o primeiro termo é a = 1 e a razão é r = x^2.

Passo 3

Pelo Teorema de convergência de série geométrica, uma série sumn=0^infty ar^n converge se e somente se |r| < 1. Aqui, isso equivale a |x^2| < 1, ou seja, |x| < 1.

Passo 4

Quando |x| < 1, a soma de uma série geométrica é dada por
sumn=0^infty ar^n = a1 - r
Substituindo a = 1 e r = x^2, obtemos
sumn=0^infty x^2n = 11 - x^2

Resposta

A série converge para |x| < 1 e sua soma é 11 - x^2.

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