Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de
para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a série
é convergente e, em seguida, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica infinita, e vamos precisar do Teorema 11.15, que dá a condição de convergência e a soma de uma série geométrica.
Passo 2
Escrevendo a série em forma de soma, temos
. Nesse formato, o primeiro termo é
e a razão é
.
Passo 3
Pelo Teorema de convergência de série geométrica, uma série
converge se e somente se
. Aqui, isso equivale a
, ou seja,
.
Passo 4
Quando
, a soma de uma série geométrica é dada por
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
A série converge para
e sua soma é
.