O enunciado pede para calcular a integral integral x^2+a^2x^2-a^2,dx. O assunto é integração de funções racionais, e vamos precisar usar divisão de polinômios e frações parciais.
Passo 2
Primeiro reescrevo o numerador de forma a facilitar a integral. Note que
x^2+a^2=(x^2-a^2)+2a^2,
então
x^2+a^2x^2-a^2=1+2a^2x^2-a^2
Passo 3
Com essa separação, a integral fica
integral x^2+a^2x^2-a^2,dx = integral 1,dx + 2a^2integral dxx^2-a^2
Passo 4
Para calcular 2a^2integral dxx^2-a^2 vamos usar frações parciais. Escrevemos
2a^2x^2-a^2=Ax-a+Bx+a
Passo 5
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes ou testando valores especiais:
Para x=a: A(2a)=2a^2 dá A=a.
Para x=-a: B(-2a)=2a^2 dá B=-a.
Então
2a^2x^2-a^2=ax-a-ax+a
Passo 6
Substituindo de volta, a integral total vira
integral x^2+a^2x^2-a^2,dx = integral 1,dx + aintegral dxx-a - aintegral dxx+a
Passo 7
Agora integro cada parte:
integral 1,dx = x.
integral dxx-a=ln|x-a|.
integral dxx+a=ln|x+a|.
Então
x + aln|x-a| - aln|x+a| + C
Passo 8
Para deixar num único logaritmo, uso ln|x-a|-ln|x+a|=lnl|x-ax+ar|. Logo a forma final é