Resolva as seguintes integrais:
integral x^2+a^2x^2-a^2 d x=
R: x+a ln |x-ax+a|+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2+a^2x^2-a^2,dx. O assunto é integração de funções racionais, e vamos precisar usar divisão de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Primeiro reescrevo o numerador de forma a facilitar a integral. Note que
x^2+a^2=(x^2-a^2)+2a^2,
então
x^2+a^2x^2-a^2=1+2a^2x^2-a^2

Passo 3

Com essa separação, a integral fica
integral x^2+a^2x^2-a^2,dx = integral 1,dx + 2a^2integral dxx^2-a^2

Passo 4

Para calcular
2a^2integral dxx^2-a^2 vamos usar frações parciais. Escrevemos
2a^2x^2-a^2=Ax-a+Bx+a

Passo 5

Multiplicando em cruz e comparando coeficientes ou testando valores especiais:
  • Para x=a: A(2a)=2a^2 A=a.
  • Para x=-a: B(-2a)=2a^2 B=-a.
    Então
2a^2x^2-a^2=ax-a-ax+a

Passo 6

Substituindo de volta, a integral total vira
integral x^2+a^2x^2-a^2,dx = integral 1,dx + aintegral dxx-a - aintegral dxx+a

Passo 7

Agora integro cada parte:
  • integral 1,dx = x.
  • integral dxx-a=ln|x-a|.
  • integral dxx+a=ln|x+a|.
    Então
x + aln|x-a| - aln|x+a| + C

Passo 8

Para deixar num único logaritmo, uso ln|x-a|-ln|x+a|=lnl|x-ax+ar|. Logo a forma final é
x + alngl|x-ax+agr| + C

Resposta

x + a \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C

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