Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
Passo 1
A série dada é
3 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{3} + \dots + \frac{(x - 1)n}{3{n-1}} + \dots
Queremos achar para quais x essa série converge e qual é sua soma. Vamos aplicar o Teorema (11.15) sobre séries geométricas infinitas.
Passo 2
Para usar o Teorema de série geométrica, identificamos o termo geral e escrevemos a série na forma . Observe que
portanto podemos reescrever a série como
Passo 3
Para convergência da série geométrica infinita , precisamos de . Aqui o termo inicial é e a razão é . Logo, a condição de convergência é
o que equivale a
|x-1|<3Long<=ftrightarrow -2
Passo 4
Com a série convergente, sua soma é dada pela fórmula
S = a1-r = 31 - x-13
Agora simplificamos essa expressão:
Passo 5
Primeiro coloque tudo sobre um mesmo denominador:
S = 33 - (x-1)3 = 3cdot33 - x +1
Logo,
S = 94 - x
Resposta
A série converge para -2 < x < 4 e sua soma é 94 - x.