Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de x para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
3+(x-1)+(x-1)^23+ldots+(x-1)^n3^n-1+ldots

Passo 1

A série dada é
3 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{3} + \dots + \frac{(x - 1)n}{3{n-1}} + \dots
Queremos achar para quais x essa série converge e qual é sua soma. Vamos aplicar o Teorema (11.15) sobre séries geométricas infinitas.

Passo 2

Para usar o Teorema de série geométrica, identificamos o termo geral e escrevemos a série na forma sumn=0^infty a,r^n. Observe que
(x-1)^n3^n-1 = 3(x-13)^n
portanto podemos reescrever a série como
sumn=0^infty 3(x-13)^n

Passo 3

Para convergência da série geométrica infinita sumn=0^infty ar^n, precisamos de |r|<1. Aqui o termo inicial é a=3 e a razão é r=(x-1)/3. Logo, a condição de convergência é
|x-13|<1
o que equivale a
|x-1|<3Long<=ftrightarrow -2

Passo 4

Com a série convergente, sua soma é dada pela fórmula
S = a1-r = 31 - x-13
Agora simplificamos essa expressão:

Passo 5

Primeiro coloque tudo sobre um mesmo denominador:
S = 33 - (x-1)3 = 3cdot33 - x +1
Logo,
S = 94 - x

Resposta

A série converge para -2 < x < 4 e sua soma é 94 - x.

Exercícios relacionados