Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de
para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema 11.15 (sobre convergência de séries de potências) para achar para quais valores de
a série
converge e, além disso, calcular sua soma. Vamos ver como transformar essa série em uma série geométrica e aplicar o teorema.
Passo 2
A chave é notar que cada termo pode ser escrito como
Ou seja, é uma série geométrica de razão
e termo inicial
.
Passo 3
Pelo Teorema 11.15 (convergência de série de potências / geométrica), a série geométrica
converge se e somente se
. Aqui isso dá
que equivale a
Passo 4
Para a soma, usamos a fórmula da série geométrica
sumn=0^infty a,r^n = a1-r . Substituindo
a=tfrac12 e
r=tfracx-32 , temos:
Resposta
A série converge somente para
1 < x < 5 , e sua soma é
15-x .