Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de x para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
12+(x-3)4+(x-3)^28+ldots+(x-3)^n2^n+1+ldots

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema 11.15 (sobre convergência de séries de potências) para achar para quais valores de x a série
12 + x-34 + (x-3)^28 + cdots + (x-3)^n2^n+1 + cdots
converge e, além disso, calcular sua soma. Vamos ver como transformar essa série em uma série geométrica e aplicar o teorema.

Passo 2

A chave é notar que cada termo pode ser escrito como
(x-3)^n2^n+1 = 12 (x-32)^n
Ou seja, é uma série geométrica de razão r = x-32 e termo inicial a = tfrac12.

Passo 3

Pelo Teorema 11.15 (convergência de série de potências / geométrica), a série geométrica sum a,r^n converge se e somente se |r|<1. Aqui isso dá
|x-32| < 1
que equivale a
|x-3| < 2 Longrightarrow 1 < x < 5

Passo 4

Para a soma, usamos a fórmula da série geométrica sumn=0^infty a,r^n = a1-r. Substituindo a=tfrac12 e r=tfracx-32, temos:
S = tfrac121 - tfracx-32 = 1/2tfrac2 - (x-3)2 = 1/2tfrac5-x2 = 15-x

Resposta

A série converge somente para 1 < x < 5, e sua soma é 15-x.

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