Use o Teorema 3.33 do Texto da Semana 4, para encontrar a inversa A^{-1} de cada matriz A abaixo.
A=\left(\begin{array}{rrr}1 & -3 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a inversa A^{-1} da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 0 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -2 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas que vamos usar: a própria matriz A acima e a indicação para usar o Teorema 3.33 do texto (ou seja, o método de eliminar por operações elementares e acompanhar essas operações aplicadas à matriz identidade). Nada mais é solicitado além de calcular A^{-1}.]

Passo 2

O que diz, na prática, o Teorema 3.33 (explicado de forma simples): se uma matriz quadrada A é invertível, então existe uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transforma A na matriz identidade I. Cada operação elemental corresponde a multiplicar A à esquerda por alguma matriz elementar. Se aplicarmos exatamente as mesmas operações à matriz identidade I (colocando I ao lado de A, formando a matriz aumentada [A\mid I]), ao final obteremos
[A\mid I]\xrightarrow{\text{operações}}\,[I\mid A^{-1}].çõ
Ou seja: escrevemos [A\mid I], fazemos eliminação gaussiana nas linhas até reduzir a esquerda a I; a parte à direita vira A^{-1}. Essa é a ideia e é o método que vamos usar, passo a passo. Cada operação que eu fizer na esquerda vou também fazer na direita.

Passo 3

Formo a matriz aumentada [A\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Agora vamos eliminar abaixo do pivô da primeira coluna, depois normalizar pivôs e eliminar acima, sempre fazendo as mesmas operações nas colunas da direita.]

Passo 4

Eliminação do elemento em (2,1). Faço R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}.
Cálculo linha a linha:
  • Colunas da esquerda: (-1)+1=0, 2+(-3)=-1, (-1)+0=-1.
  • Colunas da direita: 0+1=1, 1+0=1, 0+0=0.
    Nova linha 2: (0\;,-1\;,-1\mid 1\;,\;1\;,\;0).
A matriz aumentada fica
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Torno o pivô da segunda linha igual a 1 multiplicando R_{2} por -1: R_{2}\leftarrow -R_{2}.
Isso dá R_{2}=(0\;,\;1\;,\;1\mid -1\;,\;-1\;,\;0).
Aumentada agora:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Elimino os outros elementos da segunda coluna (tornar zeros em (1,2) e (3,2)).
Primeiro, R_{1}\leftarrow R_{1}+3R_{2}.
  • Esquerda: 1 fica 1; -3+3\cdot1=0; 0+3\cdot1=3.
  • Direita: 1+3\cdot(-1)=1-3=-2; 0+3\cdot(-1)= -3; 0+3\cdot0=0.
    Nova R_{1}=(1\;,\;0\;,\;3\mid -2\;,\;-3\;,\;0).
Segundo, R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2}.
  • Esquerda: 0 fica 0; -2+2\cdot1=0; 2+2\cdot1=4.
  • Direita: 0+2\cdot(-1)= -2; 0+2\cdot(-1)= -2; 1+2\cdot0=1.
    Nova R_{3}=(0\;,\;0\;,\;4\mid -2\;,\;-2\;,\;1).
Aumentada agora:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & -2 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -2 & -2 & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Normalizo o pivô da terceira linha dividindo R_{3} por 4: R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{4}R_{3}.
Isso dá R_{3}=(0\;,\;0\;,\;1\mid -\tfrac{1}{2}\;,\;-\tfrac{1}{2}\;,\;\tfrac{1}{4}).
Aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & -2 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{array}\right).]

Passo 8

Eliminação acima do pivô da terceira coluna.
Faço R_{1}\leftarrow R_{1}-3R_{3}.
  • Esquerda: 1 fica 1; 0 fica 0; 3-3\cdot1=0.
  • Direita: -2-3\cdot(-\tfrac{1}{2}) = -2 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2}.
    -3-3\cdot(-\tfrac{1}{2}) = -3 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{3}{2}.
    0-3\cdot\tfrac{1}{4} = -\tfrac{3}{4}.
    Nova R_{1}=\bigl(1,0,0\mid -\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{4}\bigr).
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3}.
  • Esquerda: 0,1,1-1=0.
  • Direita: -1-(-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{1}{2}.
    -1-(-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{1}{2}.
    0-\tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{4}.
    Nova R_{2}=\bigl(0,1,0\mid -\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4}\bigr).
Agora a matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{4}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{array}\right).
À esquerda está a identidade I; à direita está exatamente A^{-1}.]

Passo 9

Interpreto a parte direita da aumentada como A^{-1}. Portanto
A^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{4}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.
Se preferir limpar denominadores, podemos escrever A^{-1}=\tfrac{1}{4}B com
B=\begin{pmatrix}-2 & -6 & -3\\[4pt]-2 & -2 & -1\\[4pt]-2 & -2 & 1\end{pmatrix},
mas a forma com frações já é a inversa correta.]

Resposta

\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{4}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados