Use o Teorema 3.33 do Texto da Semana 4, para encontrar a inversa A^{-1} de cada matriz A abaixo. A=\left(\begin{array}{rrr}1 & -3 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -2 & 2\end{array}\right)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a inversa A^{-1} da matriz
Informações dadas que vamos usar: a própria matriz A acima e a indicação para usar o Teorema 3.33 do texto (ou seja, o método de eliminar por operações elementares e acompanhar essas operações aplicadas à matriz identidade). Nada mais é solicitado além de calcular A^{-1}.]
Passo 2
O que diz, na prática, o Teorema 3.33 (explicado de forma simples): se uma matriz quadrada A é invertível, então existe uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transforma A na matriz identidade I. Cada operação elemental corresponde a multiplicar A à esquerda por alguma matriz elementar. Se aplicarmos exatamente as mesmas operações à matriz identidade I (colocando I ao lado de A, formando a matriz aumentada [A\mid I]), ao final obteremos
Ou seja: escrevemos [A\mid I], fazemos eliminação gaussiana nas linhas até reduzir a esquerda a I; a parte à direita vira A^{-1}. Essa é a ideia e é o método que vamos usar, passo a passo. Cada operação que eu fizer na esquerda vou também fazer na direita.
Agora vamos eliminar abaixo do pivô da primeira coluna, depois normalizar pivôs e eliminar acima, sempre fazendo as mesmas operações nas colunas da direita.]
Passo 4
Eliminação do elemento em (2,1). Faço R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}.
Cálculo linha a linha:
Colunas da esquerda: (-1)+1=0, 2+(-3)=-1, (-1)+0=-1.
Colunas da direita: 0+1=1, 1+0=1, 0+0=0.
Nova linha 2: (0\;,-1\;,-1\mid 1\;,\;1\;,\;0).
Normalizo o pivô da terceira linha dividindo R_{3} por 4: R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{4}R_{3}.
Isso dá R_{3}=(0\;,\;0\;,\;1\mid -\tfrac{1}{2}\;,\;-\tfrac{1}{2}\;,\;\tfrac{1}{4}).