Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo
:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
Informações dadas: a condição que define é a equação linear
.
Pergunta explícita: “É um subespaço de
?”
Informações dadas: a condição que define
Pergunta explícita: “É
Passo 2
O que significa ser subespaço — revisão didática e intuitiva (sem pular etapas).
Uma parte muito didática: para um subconjunto ser subespaço, três propriedades equivalentes e fáceis de testar costumam ser usadas (vou explicar cada uma):
Uma parte muito didática: para um subconjunto
-
contém o vetor nulo . Aqui é o vetor em com todas as componentes iguais a zero. É imprescindível porque, para qualquer vetor e qualquer escalar , a propriedade de subespaço exige ; em particular tomar dá . -
é fechado sob soma: se e , então . Aqui, se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então . Se , então .
Se qualquer uma dessas falhar (por exemplo, se o vetor nulo não estiver em
), então
não é subespaço. Explicação curta do porquê a condição do vetor nulo é necessária: escolha qualquer
. Se
é subespaço então
deve estar em
. Mas
. Logo o conjunto tem de conter
.
Passo 3
Aplicando o teste do vetor nulo ao conjunto
.
Verifico se o vetor nulo satisfaz a equação que define
:
Verifico se o vetor nulo
Como a condição para pertencer a
exige
, vemos que
. Portanto o vetor nulo
NÃO pertence a
. Pela razão dada no passo anterior, se um conjunto não contém o vetor nulo ele não pode ser subespaço. Assim com isso já concluímos que
não é subespaço de
.
Passo 4
Vou mostrar também, como exercício didático, uma violação explícita da fechadura sob soma e por escalar (isso ajuda a entender o porquê):
Escolho dois vetores claramente em . Por exemplo
Escolho dois vetores claramente em
Ambos satisfazem a equação porque
e
, logo
. Agora somo-os:
As componentes somadas dão
, que NÃO é igual a
. Logo
. Isso mostra explicitamente que
não é fechado sob soma, outra forma de ver que não é subespaço.
Também para escalar, usando
e escalar
:
e
, então
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 5
Interpretação geométrica e regra geral (fácil de aplicar numa prova).
A equação define um plano em
que é paralelo ao plano
mas deslocado (ou seja, não passa pela origem). Todo subespaço linear que seja definido por uma equação linear do tipo
só é subespaço se e somente se
. Se
o conjunto é um “plano afim” que não contém a origem e, portanto, não é subespaço. Na prova, a verificação mais rápida costuma ser checar se o vetor nulo pertence: se não, já está resolvido.
A equação
Passo 6
Conclusão final (resposta direta e curta): o conjunto
não é subespaço de
porque não contém o vetor nulo (e falha também em ser fechado sob soma e escalar).
Resposta
Não.
não é subespaço de
.