Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo \mathbb{R}^{n}:
T=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=5 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=5\}
é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^3.
Informações dadas: a condição que define T é a equação linear \;x+y+z=5\;.
Pergunta explícita: “É T um subespaço de \mathbb{R}^3?”

Passo 2

O que significa ser subespaço — revisão didática e intuitiva (sem pular etapas).
Uma parte muito didática: para um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 ser subespaço, três propriedades equivalentes e fáceis de testar costumam ser usadas (vou explicar cada uma):
  1. S contém o vetor nulo 0=(0,0,0). Aqui 0 é o vetor em \mathbb{R}^3 com todas as componentes iguais a zero. É imprescindível porque, para qualquer vetor v\in S e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, a propriedade de subespaço exige \lambda v\in S; em particular tomar \lambda=0 0\cdot v=0\in S.
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S, então u+v\in S. Aqui, se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3).
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se v\in S e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha v\in S. Se v=(v_1,v_2,v_3), então \alpha v=(\alpha v_1,\alpha v_2,\alpha v_3).
Se qualquer uma dessas falhar (por exemplo, se o vetor nulo não estiver em S), então S não é subespaço. Explicação curta do porquê a condição do vetor nulo é necessária: escolha qualquer v\in S. Se S é subespaço então 0\cdot v deve estar em S. Mas 0\cdot v=0. Logo o conjunto tem de conter 0.

Passo 3

Aplicando o teste do vetor nulo ao conjunto T.
Verifico se o vetor nulo 0=(0,0,0) satisfaz a equação que define T:
0+0+0=0.
Como a condição para pertencer a T exige x+y+z=5, vemos que 0\neq5. Portanto o vetor nulo 0 NÃO pertence a T. Pela razão dada no passo anterior, se um conjunto não contém o vetor nulo ele não pode ser subespaço. Assim com isso já concluímos que T não é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Vou mostrar também, como exercício didático, uma violação explícita da fechadura sob soma e por escalar (isso ajuda a entender o porquê):
Escolho dois vetores claramente em T. Por exemplo
v_1=(5,0,0),\qquad v_2=(0,5,0).
Ambos satisfazem a equação porque 5+0+0=5 e 0+5+0=5, logo v_1,v_2\in T. Agora somo-os:
v_1+v_2=(5,5,0).
As componentes somadas dão 5+5+0=10, que NÃO é igual a 5. Logo v_1+v_2\notin T. Isso mostra explicitamente que T não é fechado sob soma, outra forma de ver que não é subespaço.
Também para escalar, usando v_1=(5,0,0) e escalar \alpha=2:
2v_1=(10,0,0),
e 10+0+0=10\neq5, então 2v_1\notin T. Assim T não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 5

Interpretação geométrica e regra geral (fácil de aplicar numa prova).
A equação \;x+y+z=5\; define um plano em \mathbb{R}^3 que é paralelo ao plano \;x+y+z=0\; mas deslocado (ou seja, não passa pela origem). Todo subespaço linear que seja definido por uma equação linear do tipo \;a_1x+a_2y+a_3z=b\; só é subespaço se e somente se b=0. Se b\neq0 o conjunto é um “plano afim” que não contém a origem e, portanto, não é subespaço. Na prova, a verificação mais rápida costuma ser checar se o vetor nulo pertence: se não, já está resolvido.

Passo 6

Conclusão final (resposta direta e curta): o conjunto T não é subespaço de \mathbb{R}^3 porque não contém o vetor nulo (e falha também em ser fechado sob soma e escalar).

Resposta

Não. T não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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