Use um teorema apropriado para mostrar que o conjunto dado é um espaço vetorial, ou obtenha um exemplo que mostre o contrário.
reais

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Verificar se
é um espaço vetorial (subespaço de ) ou não”.
O assunto aqui é “teste de subespaço”: a gente vai usar o teorema que diz que um subconjunto de é subespaço se, e só se,
  1. contém o vetor zero,
  2. é fechado em soma,
  3. é fechado em multiplicação por escalar.
    Pra não complicar, basta mostrar que a condição (1) falha.

Passo 2

Segundo o teorema, todo subespaço precisa conter o vetor zero .
Logo, se não existir tal que
já garantimos que não é subespaço.

Passo 3

Vamos montar o sistema:
b-2d=0, 5+d=0, b+3d=0, d=0
Da segunda equação vem d=-5.
Da quarta equação vem d=0.
Isso é contraditório ( -5neq0), então não existe par (b,d) que faça aquele vetor virar o zero em R^4.

Passo 4

Como 0notin W, a condição essencial para ser subespaço falha. Não precisamos nem testar soma ou escalar; já deu pra descartar.

Resposta

O conjunto W não é um espaço vetorial, pois ele não contém o vetor zero de R^4.

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