Use um teorema apropriado para mostrar que o conjunto dado é um espaço vetorial, ou obtenha um exemplo que mostre o contrário.
Passo 1
O conjunto
é dado por duas equações lineares homogêneas em . Para mostrar que é um espaço vetorial (subespaço de ), vamos usar o teorema que diz que o núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço do domínio.
Passo 2
Definimos a aplicação
Note que
Logo, .
Passo 3
Verificamos que T é linear, pois para quaisquer u,vinR^4 e lambdainR vale
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda u)=lambda,T(u)
Passo 4
Pelo teorema do núcleo, ker T é um subespaço de R^4. Consequentemente, W é um subespaço de R^4 e, portanto, é um espaço vetorial.