Use um teorema apropriado para mostrar que o conjunto W dado é um espaço vetorial, ou obtenha um exemplo que mostre o contrário.
[la b c d]: la+3 b=c b+c+a=d

Passo 1

O conjunto
é dado por duas equações lineares homogêneas em . Para mostrar que é um espaço vetorial (subespaço de ), vamos usar o teorema que diz que o núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço do domínio.

Passo 2

Definimos a aplicação
Note que
Logo, .

Passo 3

Verificamos que T é linear, pois para quaisquer u,vinR^4 e lambdainR vale
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda u)=lambda,T(u)

Passo 4

Pelo teorema do núcleo, ker T é um subespaço de R^4. Consequentemente, W é um subespaço de R^4 e, portanto, é um espaço vetorial.

Resposta

W é um espaço vetorial (subespaço de R^4).

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