Use o teorema de Bolzano para mostrar que o erro absoluto ao aproximar o zero da função
por
é menor que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a aproximação
. Pede para mostrar que o erro absoluto ao aproximar o zero (raiz) real de
por
é menor que
; ou seja, se
é a raiz real de
, provar que
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está explicitamente dada por . - A aproximação fornecida é
. - O objetivo é provar uma desigualdade sobre o erro absoluto:
.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) de forma direta. Lembro do enunciado do Teorema de Bolzano, de forma prática:
Observações usadas aqui:
- A função
é contínua em ; somas e subtrações de funções contínuas são contínuas. Portanto é contínua em qualquer intervalo. - Se eu encontrar um intervalo simétrico em torno de
, por exemplo , e mostrar que e têm sinais opostos, então por Bolzano existe uma raiz em . Isso implicará imediatamente que porque o intervalo tem raio em torno de .
Logo a tarefa prática passa a ser calcular (ou estimar com segurança)
e
e verificar que seus sinais são diferentes.
Passo 3
Calcular
.
Escrevo a expressão:
Para estimar
faço o truque útil
. Sabendo
e desenvolvendo
por série de Taylor truncada (suficiente para ter precisão nos dígitos relevantes):
Calculo os termos (apenas os primeiros já dão boa precisão):
Somando os primeiros termos:
Multiplico por
:
Portanto
Concluímos que
é positivo (e a aproximação tem folga suficiente: cerca de
).
Passo 4
Calcular
.
Escrevo:
De novo uso
. Estimo
pela série:
Cálculo dos termos:
Somando:
Multiplico por
:
Logo
Portanto
é negativo (aproximadamente
).
Passo 5
Conclusão por Bolzano: como
é contínua em
e encontramos
temos
. Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um
tal que
. Esse intervalo é exatamente o intervalo centrado em
com raio
. Logo a distância entre
e
é menor que
:
Isso mostra que o erro absoluto da aproximação
ao zero real de
é menor que
.