Use o teorema de Bolzano para mostrar que o erro absoluto ao aproximar o zero da função
f(x)=e^{x}-x-2
por
\bar{x}=-1,841 é menor que 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x}-x-2 e a aproximação \bar{x}=-1,841. Pede para mostrar que o erro absoluto ao aproximar o zero (raiz) real de f por \bar{x} é menor que 10^{-3}; ou seja, se x^{*} é a raiz real de f, provar que
|x^{*}-(-1,841)|<10^{-3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f está explicitamente dada por f(x)=e^{x}-x-2.
  • A aproximação fornecida é \bar{x}=-1,841.
  • O objetivo é provar uma desigualdade sobre o erro absoluto: <10^{-3}.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) de forma direta. Lembro do enunciado do Teorema de Bolzano, de forma prática:
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }f(a)\cdot f(b)<0,\text{ então existe }c\in(a,b)\text{ tal que }f\text{(c)}=0.éíã
Observações usadas aqui:
  • A função e^{x} é contínua em \mathbb{R}; somas e subtrações de funções contínuas são contínuas. Portanto f(x)=e^{x}-x-2 é contínua em qualquer intervalo.
  • Se eu encontrar um intervalo simétrico em torno de -1,841, por exemplo [\, -1,842,\,-1,840\,], e mostrar que f(-1,842) e f(-1,840) têm sinais opostos, então por Bolzano existe uma raiz x^{*} em (-1,842,-1,840). Isso implicará imediatamente que |x^{*}+1,841|<10^{-3} porque o intervalo tem raio 10^{-3} em torno de -1,841.
Logo a tarefa prática passa a ser calcular (ou estimar com segurança) f(-1,842) e f(-1,840) e verificar que seus sinais são diferentes.

Passo 3

Calcular f(-1,842).
Escrevo a expressão:
f(-1,842)=e^{-1,842}+1,842-2=e^{-1,842}-0,158.
Para estimar e^{-1,842} faço o truque útil e^{-1,842}=e^{-2}\,e^{0,158}. Sabendo e^{-2}=0,1353352832\ldots e desenvolvendo e^{0,158} por série de Taylor truncada (suficiente para ter precisão nos dígitos relevantes):
e^{0,158}=1+0,158+\frac{0,158^{2}}{2}+\frac{0,158^{3}}{6}+\frac{0,158^{4}}{24}+\cdots
Calculo os termos (apenas os primeiros já dão boa precisão):
0,158^{2}=0,024964,\qquad \frac{0,158^{2}}{2}=0,012482,
0,158^{3}=0,003944,\qquad \frac{0,158^{3}}{6}\approx0,000657,
0,158^{4}=0,000623, \qquad \frac{0,158^{4}}{24}\approx0,000026.
Somando os primeiros termos:
e^{0,158}\approx 1+0,158+0,012482+0,000657+0,000026=1,171165\\ (\text{aprox.}).
Multiplico por e^{-2}:
e^{-1,842}=e^{-2}e^{0,158}\approx 0,1353352832\times1,171165\approx0,158498\\ (\text{aprox.}).
Portanto
f(-1,842)\approx 0,158498-0,158=0,000498>0.
Concluímos que f(-1,842) é positivo (e a aproximação tem folga suficiente: cerca de 4{,}98\times10^{-4}).

Passo 4

Calcular f(-1,840).
Escrevo:
f(-1,840)=e^{-1,840}+1,840-2=e^{-1,840}-0,160.
De novo uso e^{-1,840}=e^{-2}\,e^{0,160}. Estimo e^{0,160} pela série:
e^{0,160}=1+0,160+\frac{0,160^{2}}{2}+\frac{0,160^{3}}{6}+\frac{0,160^{4}}{24}+\cdots
Cálculo dos termos:
0,160^{2}=0,025600,\qquad \frac{0,160^{2}}{2}=0,012800,
0,160^{3}=0,004096,\qquad \frac{0,160^{3}}{6}\approx0,000683,
0,160^{4}=0,00065536,\qquad \frac{0,160^{4}}{24}\approx0,000027.
Somando:
e^{0,160}\approx 1+0,160+0,012800+0,000683+0,000027=1,173510\\ (\text{aprox.}).
Multiplico por e^{-2}:
e^{-1,840}\approx 0,1353352832\times1,173510\approx0,158816\\ (\text{aprox.}).
Logo
f(-1,840)\approx 0,158816-0,160=-0,001184<0.
Portanto f(-1,840) é negativo (aproximadamente -1{,}184\times10^{-3}).

Passo 5

Conclusão por Bolzano: como f é contínua em [\, -1,842,\,-1,840\,] e encontramos
f(-1,842)>0\qquad\text{e}\qquad f(-1,840)<0,
temos f(-1,842)\cdot f(-1,840)<0. Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um x^{*}\in(-1,842,-1,840) tal que f(x^{*})=0. Esse intervalo é exatamente o intervalo centrado em -1,841 com raio 10^{-3}. Logo a distância entre x^{*} e -1,841 é menor que 10^{-3}:
|x^{*}+1,841|<10^{-3}.
Isso mostra que o erro absoluto da aproximação \bar{x}=-1,841 ao zero real de f é menor que 10^{-3}.

Resposta

|x^{*}+1,841|<10^{-3}

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