Problema 09. (Nó Cego) Se
é um polinômio quadrático com
. Sabendo que
é o número de valores reais distintos de
que satisfaz a equação
, então o valor de N é igual a:
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
e)32
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
e)32
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede o número
de valores reais distintos de
que satisfazem a equação
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é um polinômio quadrático definido em . - A equação envolve composições de
: cinco composições no lado esquerdo e três composições no lado direito. - Precisamos contar quantas soluções reais distintas
em satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Primeira ideia prática (mudança de variável que simplifica tudo): usar a substituição
com
. Vou explicar por quê isso ajuda.
A identidade trigonométrica do cosseno para o ângulo duplo é
Se
então
Ou seja, sob a mudança
a aplicação
corresponde a duplicar o ângulo:
. Observação importante: o mapa
é bijetivo entre
e
porque
é estritamente decrescente em
. Assim, contar soluções em
equivale a contar soluções em
.
Passo 3
Agora vejo o que acontece ao iterar
. Usando o passo anterior, para qualquer inteiro
vale por indução simples:
onde
denota a composição de
vezes. Em particular:
Portanto a equação original
transforma-se, com
, na equação trigonométrica
Passo 4
Resolver
. A igualdade
ocorre exatamente quando
com
. Aplicando aqui com
e
obtemos duas famílias de soluções:
- Caso
. Subtraindo e isolando :
- Caso
. Somando e isolando :
Precisamos contar todos os valores
dessas formas que estejam em
.
Passo 5
Contagem da primeira família
com
.
A condição dá
. Tomando
obtemos exatamente
valores distintos de
.
A condição
Passo 6
Contagem da segunda família
com
.
A condição dá
. Tomando
obtemos exatamente
valores distintos de
.
A condição
Passo 7
Agora é preciso unir as duas famílias e evitar contar soluções repetidas duas vezes. Uma solução comum satisfaz
para alguns inteiros
e
. Cancelando
obtemos a condição racional
Para inteiros
essa igualdade implica que
é múltiplo de
: escreva
; então
. Agora impomos as faixas:
-
deve obedecer , logo . - Correspondente
então fica entre e , consistente para .
Portanto existem exatamente
valores comuns (os
), gerando os ângulos
Passo 8
Número total de soluções
é a união das duas famílias:
Como a aplicação
é bijetiva entre
e
, cada
distinto gera um
distinto em
. Logo o número de soluções reais distintas
da equação original é
Resposta
29