Problema 09. (Nó Cego) Se f(x)=2 x^{2}-1 é um polinômio quadrático com x \in[-1,1]. Sabendo que N é o número de valores reais distintos de x que satisfaz a equação f(f(f(f(f((x))))))=f(f(f(x))), então o valor de N é igual a:
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
e)32

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^{2}-1 com x\in[-1,1] e pede o número N de valores reais distintos de x que satisfazem a equação
f(f(f(f(f(x))))) = f(f(f(x))).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é um polinômio quadrático definido em [-1,1].
  • A equação envolve composições de f: cinco composições no lado esquerdo e três composições no lado direito.
  • Precisamos contar quantas soluções reais distintas x em [-1,1] satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeira ideia prática (mudança de variável que simplifica tudo): usar a substituição
x=\cos\theta,
com \theta\in[0,\pi]. Vou explicar por quê isso ajuda.
A identidade trigonométrica do cosseno para o ângulo duplo é
\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
Se x=\cos\theta então
f(x)=2x^{2}-1=2\cos^{2}\theta-1=\cos(2\theta).
Ou seja, sob a mudança x=\cos\theta a aplicação f corresponde a duplicar o ângulo: f(\cos\theta)=\cos(2\theta). Observação importante: o mapa \theta\mapsto x=\cos\theta é bijetivo entre [0,\pi] e [-1,1] porque \cos é estritamente decrescente em [0,\pi]. Assim, contar soluções em \theta\in[0,\pi] equivale a contar soluções em x\in[-1,1].

Passo 3

Agora vejo o que acontece ao iterar f. Usando o passo anterior, para qualquer inteiro n\ge1 vale por indução simples:
f^{n}(\cos\theta)=\cos(2^{n}\theta),
onde f^{n} denota a composição de f n vezes. Em particular:
f^{5}(\cos\theta)=\cos(2^{5}\theta)=\cos(32\theta), \qquad f^{3}(\cos\theta)=\cos(2^{3}\theta)=\cos(8\theta).
Portanto a equação original f^{5}(x)=f^{3}(x) transforma-se, com x=\cos\theta, na equação trigonométrica
\cos(32\theta)=\cos(8\theta), \qquad \theta\in[0,\pi].

Passo 4

Resolver \cos(32\theta)=\cos(8\theta). A igualdade \cos A=\cos B ocorre exatamente quando
A = B + 2\pi k \quad\text{ou}\quad A = -B + 2\pi k,
com k\in\mathbb{Z}. Aplicando aqui com A=32\theta e B=8\theta obtemos duas famílias de soluções:
  1. Caso 32\theta = 8\theta + 2\pi k. Subtraindo 8\theta e isolando \theta:
24\theta = 2\pi k \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi k}{12}.
  1. Caso 32\theta = -8\theta + 2\pi k. Somando 8\theta e isolando \theta:
40\theta = 2\pi k \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi k}{20}.
Precisamos contar todos os valores \theta dessas formas que estejam em [0,\pi].

Passo 5

Contagem da primeira família \theta=\dfrac{\pi k}{12} com \theta\in[0,\pi].
A condição \dfrac{\pi k}{12}\le\pi k\le12. Tomando k\in\{0,1,2,\dots,12\} obtemos exatamente 13 valores distintos de \theta.

Passo 6

Contagem da segunda família \theta=\dfrac{\pi k}{20} com \theta\in[0,\pi].
A condição \dfrac{\pi k}{20}\le\pi k\le20. Tomando k\in\{0,1,2,\dots,20\} obtemos exatamente 21 valores distintos de \theta.

Passo 7

Agora é preciso unir as duas famílias e evitar contar soluções repetidas duas vezes. Uma solução comum satisfaz
\frac{\pi k}{12}=\frac{\pi m}{20}
para alguns inteiros k\in\{0,\dots,12\} e m\in\{0,\dots,20\}. Cancelando \pi obtemos a condição racional
\frac{k}{12}=\frac{m}{20}\quad\Longleftrightarrow\quad 5k=3m.
Para inteiros k,m essa igualdade implica que k é múltiplo de 3: escreva k=3t; então m=5t. Agora impomos as faixas:
  • k=3t deve obedecer 0\le k\le12, logo 0\le t\le4.
  • Correspondente m=5t então fica entre 0 e 20, consistente para t=0,1,2,3,4.
Portanto existem exatamente 5 valores comuns (os t=0,1,2,3,4), gerando os ângulos
\theta=\frac{\pi(3t)}{12}=\frac{\pi t}{4}, \qquad t=0,1,2,3,4.

Passo 8

Número total de soluções \theta\in[0,\pi] é a união das duas famílias:
N_{\theta} = 13 + 21 - 5 = 29.
Como a aplicação \theta\mapsto x=\cos\theta é bijetiva entre [0,\pi] e [-1,1], cada \theta distinto gera um x distinto em [-1,1]. Logo o número de soluções reais distintas x da equação original é
N = 29.

Resposta

29

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