Use o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que as integrais abaixo são nulas (em todos os itens, \gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1 orientada no sentido anti-horário):
\int_{\gamma} \frac{5 z^{3}+z+2}{z^{2}-4} d z

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha sobre a circunferência \gamma\colon |z|=1 de
f(z)=\frac{5z^{3}+z+2}{z^{2}-4}
orientada no sentido anti-horário, e pede para mostrar que ela é nula usando o Teorema de Cauchy-Goursat.

Passo 2

Identificamos as singularidades de f resolvendo o denominador nulo:
z^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad z=\pm 2.

Passo 3

Como \gamma é o círculo de raio 1 centrado na origem, temos |2|=2>1 e |-2|=2>1. Logo, as singularidades z=\pm2 estão fora do disco \{z:|z|\le1\}.

Passo 4

Como não há singularidades no interior nem na fronteira de \gamma, a função f é analítica nessa região.

Passo 5

Pelo Teorema de Cauchy-Goursat, a integral de qualquer função analítica sobre contorno fechado é zero. Portanto,
\int_{\gamma}\frac{5z^{3}+z+2}{z^{2}-4}\,dz=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados