Use o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que as integrais abaixo são nulas (em todos os itens,
é a circunferência de centro na origem e raio 1 orientada no sentido anti-horário):
Passo 1
O enunciado pede para calcular \r
, \r
onde é a circunferência centrada na origem de raio
orientada anti-horário. \r
O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy–Goursat, que diz que se uma função é holomorfa num domínio simplesmente conexo que contém a curva e seu interior, então a integral de contorno é zero.
onde
O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy–Goursat, que diz que se uma função é holomorfa num domínio simplesmente conexo que contém a curva e seu interior, então a integral de contorno é zero.
Passo 2
Precisamos verificar que a função
é holomorfa em todo o plano (e, em particular, em um domínio que contenha e seu interior):
.
é uma função inteira (holomorfa em
).
. A função
é inteira.
. A composição
é inteira.
. A multiplicação por
preserva a holomorfia.
Logo é inteira, isto é, holomorfa em todo
.
é holomorfa em todo o plano (e, em particular, em um domínio que contenha
Logo
Passo 3
Como
é holomorfa em um domínio simplesmente conexo que contém
e seu interior, o Teorema de Cauchy–Goursat garante que \r