Use o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que as integrais abaixo são nulas (em todos os itens, \gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1 orientada no sentido anti-horário):
\int_{\gamma} z \operatorname{cosh} \left(z^{2}+1\right) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular \r
\displaystyle \int_{\gamma} z \,\operatorname{cosh}\bigl(z^{2}+1\bigr)\,dz, \r
onde \gamma é a circunferência centrada na origem de raio 1 orientada anti-horário. \r
O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy–Goursat, que diz que se uma função é holomorfa num domínio simplesmente conexo que contém a curva e seu interior, então a integral de contorno é zero.

Passo 2

Precisamos verificar que a função
\displaystyle f(z)=z\,\operatorname{cosh}\bigl(z^{2}+1\bigr)
é holomorfa em todo o plano (e, em particular, em um domínio que contenha \gamma e seu interior):
1. \operatorname{cosh}(w) é uma função inteira (holomorfa em \mathbb{C}).
2. A função w(z)=z^{2}+1 é inteira.
3. A composição \operatorname{cosh}\bigl(z^{2}+1\bigr) é inteira.
4. A multiplicação por z preserva a holomorfia.
Logo f(z) é inteira, isto é, holomorfa em todo \mathbb{C}.

Passo 3

Como f é holomorfa em um domínio simplesmente conexo que contém \gamma e seu interior, o Teorema de Cauchy–Goursat garante que \r
\displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz = 0.

Resposta

\displaystyle 0

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