Se
é uma curva orientada no sentido anti-horário que delimita uma região que contém em seu interior a origem, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
onde
é um contorno simples fechado, orientado no sentido anti-horário, que envolve a origem. O conteúdo principal é cálculo de integrais complexas em torno de polos isolados e o que vamos precisar é
- Parametrizar um contorno canônico que circunde a origem (por exemplo, uma circunferência de raio
). - Usar a invariância por deformação de contorno (homotopia) ou o teorema dos resíduos para estender o resultado a qualquer
que encurve 0.
Passo 2
Considere o círculo
orientado positivamente (sentido anti-horário). Então
Passo 3
Substituindo na integral, temos
Passo 4
Como a função
é holomorfa em
, qualquer outra curva fechada
que envolva a origem pode ser continuamente deforma- da (sem cruzar 0) até o círculo
. Pela invariância da integral sob deformação de contorno, conclui-se