Se \gamma é uma curva orientada no sentido anti-horário que delimita uma região que contém em seu interior a origem, mostre que \int_{\gamma} \frac{d z}{z}=2 \pi i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
\int_{\gamma}\frac{dz}{z}
onde \gamma é um contorno simples fechado, orientado no sentido anti-horário, que envolve a origem. O conteúdo principal é cálculo de integrais complexas em torno de polos isolados e o que vamos precisar é
  1. Parametrizar um contorno canônico que circunde a origem (por exemplo, uma circunferência de raio R).
  2. Usar a invariância por deformação de contorno (homotopia) ou o teorema dos resíduos para estender o resultado a qualquer \gamma que encurve 0.

Passo 2

Considere o círculo
C_R: z(t)=R\,e^{it},\quad t\in[0,2\pi],
orientado positivamente (sentido anti-horário). Então
dz = \frac{d}{dt}\bigl(R\,e^{it}\bigr)\,dt = i\,R\,e^{it}\,dt = i\,z(t)\,dt.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{C_R}\frac{dz}{z} = \int_{0}^{2\pi}\frac{i\,z(t)\,dt}{z(t)} = \int_{0}^{2\pi}i\,dt = i\bigl[\,t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi i.

Passo 4

Como a função f(z)=1/z é holomorfa em \C\setminus\{0\}, qualquer outra curva fechada \gamma que envolva a origem pode ser continuamente deforma- da (sem cruzar 0) até o círculo C_R. Pela invariância da integral sob deformação de contorno, conclui-se
\int_{\gamma}\frac{dz}{z} =\int_{C_R}\frac{dz}{z} =2\pi i.

Resposta

2\pi i.

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